А) Отделить все корни алгебраического уравнения. Сделать чертеж.
б) Уточнить наименьший корень алгебраического уравнения методом Ньютона (точность счета 0.01).
в) Уточнить наименьший корень алгебраического уравнения методом простой итерации (точность счета 0.03).
г) Уточнить наименьший корень алгебраического уравнения методом дихотомии (точность счета 0.03).
x3-10x2+31x-30=0
Решение
Дано нелинейное уравнение. Отделим корни алгебраического уравнения. Для этого построим график функции (рис. 1). Очевидно, уравнение имеет три корня: левый, средний и правый.
Найдем стационарные точки функции, определяемой левой частью исходного уравнения:
f'x=x3-10x2+31x-30'=3x2-20x+31
D=-202-4∙3∙31=400-372=28
x1,2ст=20±286=20±476 x1ст=10-273=2,451x2ст=10+273=4,215
Вычислим значения функции в полученных точках:
fx1ст=2,4513-10∙2,4512+31∙2,451-30=0,6311
fx2ст=4,2153-10∙4,2152+31∙4,215-30=-2,1126
Рассмотрим отрезок x1ст;x2ст=2,451; 4,215. Так как функция принимает на концах отрезка x1ст;x2ст разные знаки, а первая производная сохраняет знак (функция на отрезке убывает), то средний корень может быть отделен на отрезке 2,5;4.
Отделим левый корень. В качестве правой границы отрезка может быть выбрана точка b=2,5, а в качестве левой границы - любая точка из интервала -∞;2,5. Возьмем a=1,5.
Отделим правый корень. В качестве левой границы отрезка выберем точку a=4>0, а в качестве правой границы - любую точку b=6.
Окончательно:
• левый корень уравнения отделен на отрезке 1,5; 2,5;
• средний корень уравнения отделен на отрезке 2,5;4;
• правый корень уравнения отделен на отрезке 4;6.
Рисунок_1.
Уточним наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке 1,5;2,5 (точность счёта ε=0,01).
Выберем начальное приближение корня x0=1,5.
Для проверки достаточных условий сходимости метода Ньютона из выбранной начальной точки построим график второй производной функции, определяемой левой частью уравнения:
fx=x3-10x2+31x-30; f'x=3x2-20x+31; f''x=6x-20.
Построим на чертеже график второй производной функции f''x=6x-20 (рис
. 1). По графику видно, что в выбранной начальной точке условия сходимости метода Ньютона выполняются: f1,5∙f''1,5>0.
Производим вычисления по формулам метода Ньютона.
Вычислим первое приближение корня:
x1=x0-fx0f'x0=1,5-1,53-10∙1,52+31∙1,5-303∙1,52-20∙1,5+31=1,5--2,62590,25=1,529086
Тогда ∆=x0-x1=1,5-1,529086=0,02909>0,01; продолжаем вычисления.
Вычислим второе приближение корня:
x2=x1-fx1f'x1
x2=1,529086-1,5290863-10∙1,5290862+31∙1,529086-303∙1,5290862-20∙1,529086+31=1,55701
Тогда ∆=x2-x1=1,55701-1,529086=0,027924>0,01; продолжаем вычисления.
Сведем расчеты в таблицу:
xn
fx
f'x
0 1,5 -2,625 90,25
1 1,529086 -2,404213 86,09856712 0,0290859
2 1,55701 -2,200864 82,29012254 0,027924
3 1,583755 -2,013893 78,80270156 0,0267452
4 1,609311 -1,842252 75,61467736 0,0255561
5 1,633675 -1,684911 72,70489466 0,0243637
6 1,656849 -1,540867 70,05279886 0,0231747
7 1,678845 -1,40915 67,63855571 0,0219958
8 1,699679 -1,288822 65,44315725 0,0208335
9 1,719373 -1,178989 63,44851061 0,0196938
10 1,737954 -1,078803 61,63750721 0,0185818
11 1,755457 -0,987459 59,99407149 0,0175024
12 1,771916 -0,904206 58,50318882 0,0164593
13 1,787372 -0,828341 57,15091405 0,0154557
14 1,801866 -0,75921 55,92436222 0,0144939
15 1,815441 -0,69621 54,8116841 0,0135757
16 1,828143 -0,638785 53,8020291 0,0127019
17 1,840016 -0,586426 52,88549855 0,0118729
18 1,851105 -0,538666 52,05309195 0,0110886
19 1,861453 -0,495081 51,29664866 0,0103484
20 1,871104 -0,455285 50,60878734 0,0096513
Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆=0,0096513<0,01.
Запишем полученное решение x*≈1,8.
Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке 1,5;2,5 (точность счёта ε=0,03).
Преобразуем исходное уравнение fx=x3-10x2+31x-30 следующим образом:
x=x+α∙x3-10x2+31x-30
Возьмем α=-0,05, следовательно, будем иметь φx= x-0,05∙x3-10x2+31x-30.
Проверим условие сходимости метода простых итераций для преобразованного уравнения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
