Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду

A=1;B=122=6;C=27
Т.к. B2-AC=9>0, то наше уравнение – гиперболического типа.
Записываем уравнение характеристик:
(dy)2-12dxdy+27dx2=0
dydx2-12dydx+27=0
dydx=12±62
dydx=9;dydx=3
Решаем первое дифференциальное уравнение:
dy=9dx
Интегрируем:
dy=2dx
y=9x+c
Т.е. общий интеграл уравнения:
y-9x=C
Аналогично для dydx=3 получаем:
y-3x=C
Вводим новые переменные α и β:
α=y-9xβ=y-3x
Находим производные:
αx=-9; αy=1 ;αxx=αxy=αyy=0βx=-3; βy=1;βxx=βxy=βyy=0
Учитывая это, имеем:
ux=∂u∂α∙∂α∂x+∂u∂β∙∂β∂x=-9uα-3uβ
uy=∂u∂α∙∂α∂y+∂u∂β∙∂β∂y=uα+uβ
uxx=∂ux∂α∂α∂x+∂ux∂β∂β∂x=
=∂2u∂α2∙∂α∂x2+2∂2u∂α∂β∙∂α∂x∙∂β∂x+∂2u∂β2∙∂β∂x2+∂u∂α∙∂2α∂x2+∂u∂β∙∂2β∂x2
=81uαα+54uαβ+9uββ
uxy=∂ux∂α∂α∂y+∂ux∂β∂β∂y=
=∂2u∂α2∂α∂x∂α∂y+∂2u∂α∂β∂α∂x∂β∂y+∂α∂y∂β∂x+∂2u∂β2∂β∂x∂β∂y+∂u∂α∂2α∂x∂y+∂u∂β∂2β∂x∂y=
=-9uαα-12uαβ-3uββ
uyy=∂uy∂α∂α∂y+∂uy∂β∂β∂y=
=∂2u∂α2∙∂α∂y2+2∂2u∂α∂β∙∂α∂y∙∂β∂y+∂2u∂β2∙∂β∂y2+∂u∂α∙∂2α∂y2+∂u∂β∙∂2β∂y2=
=uαα+2uαβ+uββ
Подставляем найденные производные в первоначальное уравнение:
81uαα+54uαβ+9uββ+12-9uαα-12uαβ-3uββ+27uαα+2uαβ+uββ=0
Раскрывая скобки и приводя подобные:
-36uαβ=0
Получили каноническую форму уравнения:
uαβ=0
Общее решение которого:
u=φ1α+φ2(β)
Возвращаясь к переменным x,yполучаем общее решение исходного уравнения:
u=φ1y-9x+φ2y-3x
Где φ1,φ2-произвольные, дважды дифференцируемые функции