Определить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы скорость тела 1 как функцию пройденного этим телом пути s и ускорение тела 1.
Дано:
m1, m2, m3- массы тел 1, 2 и 3;
δ – коэффициент трения качения;
R2, r2- радиусы большой и малой окружностей тела 2;
R3- радиус подвижного блока (катка) 3;
J- момент инерции тела 2;
Найти:
v=fs- скорость тела 1 как функцию пройденного этим телом пути s;
a- ускорение тела 1.
Ответ
vs=2Fпр.mпр.s; a=Fпр.mпр.=const.
Решение
Изобразим действующие на систему внешние активные силы и момент. Это:
силы тяжести тел P1, P2 и P3 ;
реакция опоры (плоскости) N3 ;
реакции оси тела 2 N2 (направление силы N2 не известно, да и в данном случае оно не нужно, важно лишь точка приложения этой силы);
момент пары сил трения качения M.
Сила сцепления Fсц. между телом 3 и наклонной плоскостью, не позволяющая телу 3 проскальзивать.
Направление движения системы зависит от числовых значений масс тел и радиусов. Предположим, система движется так, что груз 1 опускается вниз.
Для определения значения скорости v тела 1 применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:
T-T0=Ake+Aki, (1)
где Ake- суммарная работа всех внешних сил и моментов сил, действующих на элементы системы на ее перемещении из начального положения в конечное; Aki- суммарная работа всех внутренних сил на том же перемещении.
Сумма работ всех внутренних сил равна нулю, т.к. механическая система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми и невесомыми нитями (идеальные связи):
Aki=0.
Нулю равна также начальная кинетическая энергия системы, поскольку система приходит в движение из состояния покоя: T0=0, следовательно, теорема (1) примет вид
T=Ake. (2)
Определим кинетическую энергию системы в ее конечном положении и представим полученное выражение через скорость v тела 1
. Конечная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех тел:
T=T1+T2+T3. (3)
Тело 1 совершает поступательное движение, поэтому его кинетическая энергия
T1=m1v22. (4)
Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому его кинетическая энергия состоит только из энергии вращательного движения, и определяется по формуле
T2=12Jω22, (5)
-990603810Рисунок 1.
S
60°
M
3
P3
P2
N2
ω3
Q
P1
J
A
vA
B
vB
v3
R2
r2
D
C3
2
1
ω3
v
N3
ω2
C2
C1
vD
R3
120°
Fсц.
00Рисунок 1.
S
60°
M
3
P3
P2
N2
ω3
Q
P1
J
A
vA
B
vB
v3
R2
r2
D
C3
2
1
ω3
v
N3
ω2
C2
C1
vD
R3
120°
Fсц.
где J – момент инерции тела 2 относительно оси его вращения; ω2– угловая скорость вращения тела 2.
Каток 3 совершает плоское движение, вращается вокруг мгновенного центра скоростей Q с угловой скоростью ω3, а его центр масс C3 перемещается поступательно, со скоростью v3, поэтому его кинетическая энергия
T3=m3v322+J3ω322.
Поскольку тело 3 является однородным тонким диском, то его момент инерции
J3=m3R322.
Тогда
T3=m3v322+J3ω322=m3v322+m3R32ω324
T3=m3v322+m3R32ω324. (6)
Из-за нерастяжимости нитей vA=v.
Угловую скорость тела 2 выражаем через искомую скорость v.
vA=v=ω2R2⟹ω2=vR2.
Из уравнения (5) получим значение кинетической энергии тела 2 через скорость тела 1:
T2=12Jω22=J2R22 v2.
T2=J2R22 v2 . 7
Определим скорость точки D, выражая ее через v:
vD=ω2r2=r2R2v.
Скорость ЦМ C3 тела 3 очевидно, равно vD:
v3=vD=r2R2v
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
