Определить усилия во всех стержнях плоской фермы методом вырезания узлов (графически и аналитически) и методом сечений Риттера

Составим расчетную схему (рис. 2), на которой покажем реакции опор.
Рисунок 2
Составим уравнения равновесия:
FX=0;XA+Q+RBcos45°+Fcos55°=0;
FY=0;YA-P+RBsin45°-Fsin55°=0;
MA=0;-Q·3-P·4+RB·6cos45°-F·8sin55°=0;
Подставляем численные данные и решаем систему уравнений.
XA+10+RBcos45°+24·cos55°=0;YA-25+RBsin45°-24·sin55°=0;-10·3-25·4+RB·6cos45°-24·8·sin55°=0;
RB=10·3+25·4+24·8·sin55°6·cos45°=67,71 кН
XA=-10-67,71·cos45°-24·cos55°=-71,64 кН
YA=25-67,71·sin45°+24·sin55°=-3,22 кН
Производим проверку, которая заключается в составлении уравнения моментов относительно произвольной точки фермы.
MB=0;-YA·6-Q·3+P·2-F·2sin55°=0;
3,22·6-10·3+25·2-24·2sin55°≈0
Так как сумма моментов равна нулю, расчет произведен верно.
Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов
Аналитический способ
Вырежем узел A, в котором сходятся два стержня. Изобразим расчетную схему, предполагая все стержни растянутыми, направим усилия в стержнях S1 и S2 от точки А внутрь стержней (рис. 5).Fx=0;XA+S1·cosγ+S2=0;
Fy=0;YA+S1·sinγ=0;
γ=arctg 32=56,31°
S1=YAsinγ=3,22sin56,31;S1=3,87 кН
S2=-XA-S1·cosγ=71,64-3,87·cos56,31=69,5 кН
Вырезаем узел C
Fx=0;Q-S1·cosγ+S3·cosγ+S4·cosγ1=0;
γ=arctg 32=56,31°; γ1=arctg 13=18,43°
10-3,87 ·cos56,31°+S3·cos56,31°+S4·cos18,43°=0;
7,85+S3·cos56,31°+S4·cos18,43°=0;
7,85+S3·0,555+S4·0,948=0;
Fy=0;-S1·sinγ-S3·sinγ-S4·sinγ1=0;
-3,87·sin56,31°-S3·sin56,31°-S4·sin18,43°=0;-3,22-S3·sin56,31°-S4·sin18,43°=0;
S3·0,555+S4·0,948=-7,85-S3·0,832-S4·0,316=3,22
S3=-0,93 кН;S4=-7,73 кН
Вырезаем узел D
Fx=0;-S2-S3·cos56,31°+S6+S5·cos63,43°=0;
-69,5+0,93·cos56,31°+S6+S5·cos63,43°=0;
-68,98+S6+S5·cos63,43°=0;
Fy=0;S3·sin56,31°+S5·sin63,43°-P=0;
-0,93·sin56,31°+S5·sin63,43°-25=0;
-0,773+S5·0,894-25=0;
S5=28,83 кН;
-68,98+S6+28,83·cos63,43°=0;S6=56,08 кН
Вырезаем узел E
Fx=0;-S4·cos18,43-S5·cos63,43+S8·cos26,57+S7·cos63,43=0;
7,73·cos18,43-28,83·cos63,43+S8·cos26,57+S7·cos63,43=0;
-5,562+S8·0,894+S7·0,447=0;
Fy=0;S4·sin18,43+S8·sin26,57-S5·sin63,43-S7·sin63,43=0;
-7,73·sin18,43+S8·sin26,57-28,83·sin63,43-S7·sin63,43=0;
S8·0,447-S7·sin0,894-28,23
S8·0,895+S7·0,447=5,562S8·0,447-S7·0,894=28,23
S7=-22,77 кН; S8=17,6 кН
Вырезаем узел B
Fx=0;-S6-S7·cos63,43+S9·cos71,57+RB·cos45+S10=0;
-56,08+22,77·cos63,43+S9·cos71,57+67,71·cos45°+S10=0;
S9·0,316+S10=1,98;
Fy=0;S7·sin63,43+S9·sin71,57+RB·sin45=0;
-22,77·sin63,43+S9·sin71,57+67,71·sin45=0;
S9=-29,0 кН;
-29·0,316+S10=1,98;
S10=11,14 кН.
Вырезаем узел F
Fy=0;S11·sin71,57-F·sin55=0;
S11=24·sin55°sin71,57=20,67 кН
S11=20,67 кН.
Fx=0;-S11·cos71,57+F·cos55+S10=0;
S10=20,67·cos71,57-24·cos55=-7,23 кН
S10=-7,23 кН.
Метод Риттера
Сечение I – I
953318
Fx=0;XA+S2+S1·cos56,31°=0;
S1=-XA-S2cos56,31°=71,64-69,5cos56,31°=3,85 кН
Сечение II – II
Из подобия треугольников CE''E и CC'KCECC'=EE'C'K;C'K=9
MK=0;-YA·11-Q·3+S3·7·sin56,31=0
S3=-3,22·11+10·37·sin56,31=-0,93 кН
MC=0;XA·3-YA·2+S2·3=0
S2=71,64·3-3,22·23=69,5 кН
MD=0;-YA·4-Q·3+S4·2,21=0
Fy=0;YA-S4·sin18,43°-S3·sin56,31°=0;
S4=YA-S3·sin56,31°sin18,43°=-3,22+0,93·sin56,31°sin18,43°=-7,73 кН
Сечение III – III
-YA·11-Q·3+P·7-S5·7·cos26,56°=0;
S5=-YA·11-Q·3+P·77·cos26,56°=3,22·11-10·3+25·77·cos26,56°=28,81 кН
ME=0;-YA·5+XA·2-Q·1+S6·2+P·1=0
S6=YA·5-XA·2+Q·1-P·12=-3,22·5+71,64·2+10·1-25·12=56,09 кН
Из подобия треугольников FEE’ и FLF’
FE'EE'=FF'LF';12=3LF' ;LF'=6
ML=0;S9·5·cos18,43-YA·1-Q·3-P·3+RB·5·cos45=0
S9=YA·1+Q·3+P·3-RB·5·cos455·cos18,43=-3,22·1+10·3+25·3-67,71·5·cos455·cos18,43=-29,01
Сечение IV – IV
left000
MB=0;-YA·6-Q·3+P·2-S8·2sin63,43=0
S8=-YA·6-Q·3+P·22,256=3,22·6-10·3+25·22,256=17,42;
ML=0;-YA·1-Q·3-P·3-S7·5·cos26,56=0
S7=-YA·1-Q·3-P·35·cos26,56=3,22·1-10·3-25·35·cos26,56=-22,75;
Fx=0;XA+Q+RB·cos45+S8·cos18,43+S9·cos71,64+S10=0
S10=-XA-Q-RB·cos45-S8·cos18,43-S9·cos71,64=71,64-10-67,71·cos45-0,31·cos18,43+29,01·cos71,64=22,61
left32067500Сечение V – V
Fy=0;S11·sin71,57-F·sin55=0;
S11=24·sin55°sin71,57=20,67 кН
S11=20,67 кН.
Fx=0;-S11·cos71,57+F·cos55+S10=0;
S10=20,67·cos71,57-24·cos55=-7,23 кН
S10=-7,23 кН.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Метод вырезания узлов 3,87 69,5 -0,93 -7,73 28,83 56,08 -22,77 17,6 -29,0 -7.23 20,67
Метод Риттера 3,85 69,5 -0,93 -7,73 28,81 56,09 -22,75 17,43 -29,01 -7.23 20,67