Определить при заданных вероятностях 0.9, 0.95, 0.99
доверительные интервалы математического ожидания по выборкам нормально распределенных величин объемами 10, 100, 1000 в случае:
а) известной;
б) неизвестной дисперсии.
В случае неизвестной дисперсии определить доверительные интервалы для дисперсии.
Выборку можно задать оператором среды mathcad rnorm(n, μ, σ)или другим удобным способом. Значения μ и σ:
№ варианта μ σ
8 43 9
Решение
Моделируем выборку объема n=10 из N(μ, σ) в Mathcad
параметры нормального распределения
объем выборки
моделируем выборку объема n=10
Вычисляем выборочное среднее, выборочную дисперсию и среднеквадратичное отклонение
выборочное среднее
выборочная дисперсия
выборочное среднеквадратичное отклонение
Вычисляем 90% доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии
Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,9 математическое ожидание лежит в интервале (36,581;46.944)
Вычисляем 95% доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,95 математическое ожидание лежит в интервале (35,684;46.84)
Вычисляем 99% доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,99 математическое ожидание лежит в интервале (33,931;48.593)
Все доверительные интервалы накрывают математическое ожидание μ=43, заданное при моделировании. Чем выше доверительная вероятность, тем шире интервал.
Вычисляем 90% доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии
Вычисляем 90% доверительный интервал для неизвестной дисперсии
С вероятностью 0,9 дисперсия лежит в интервале (44,415;225.993)
Вычисляем 95 % доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,95 математическое ожидание лежит в интервале (34,726;47.799)
Вычисляем 95% доверительный интервал для неизвестной дисперсии
С вероятностью 0,95 дисперсия лежит в интервале (39,503;278.275)
Вычисляем 99% доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,99 математическое ожидание лежит в интервале (31,872;50.653)
Вычисляем 99% доверительный интервал для неизвестной дисперсии
С вероятностью 0,99 дисперсия лежит в интервале (31,856;453.13)
Все доверительные интервалы для математического ожидания накрывают математическое ожидание μ=43, заданное при моделировании
. Все доверительные интервалы для дисперсии накрывают дисперсию σ2=81, заданную при моделировании. Чем выше доверительная вероятность, тем шире интервал.
Повторим все вычисления для объема выборки n=100
объем выборки
моделируем выборку объема n=100
выборочное среднее
выборочная дисперсия
выборочное среднеквадратичное отклонение
Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,9 математическое ожидание лежит в интервале (42,463;45.424)
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,95 математическое ожидание лежит в интервале (42,179;45.707)
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,99 математическое ожидание лежит в интервале (41,625;46.262)
Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии при неизвестной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,9 математическое ожидание лежит в интервале (42,387;45.499)
С вероятностью 0,9 дисперсия лежит в интервале (70,56;112.851)
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,95 математическое ожидание лежит в интервале (42,084;45.803)
С вероятностью 0,95 дисперсия лежит в интервале (67,705;118.52)
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,99 математическое ожидание лежит в интервале (41,482;46.405)
С вероятностью 0,99 дисперсия лежит в интервале (62,558;130.729)
Повторим все вычисления для объема выборки n=1000
объем выборки
моделируем выборку объема n=1000
выборочное среднее
выборочная дисперсия
выборочное среднеквадратичное отклонение
Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,9 математическое ожидание лежит в интервале (42,056;42.992)
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,95 математическое ожидание лежит в интервале (41,966;43.082)
Доверительная вероятность
квантиль распределения N(0;1)
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,99 математическое ожидание лежит в интервале (41,791;43.257)
Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии при неизвестной дисперсии
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,9 математическое ожидание лежит в интервале (42,063;42.985)
С вероятностью 0,9 дисперсия лежит в интервале (72,912;84.48)
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,95 математическое ожидание лежит в интервале (41,975;43.073)
С вероятностью 0,95 дисперсия лежит в интервале (71,918;85.713)
Доверительная вероятность
квантиль распределения Стьюдента
верхняя граница
нижняя граница
С вероятностью 0,99 математическое ожидание лежит в интервале (41,802;43.246)
С вероятностью 0,99 дисперсия лежит в интервале (70,026;88.192)
Делаем вывод: чем больше объем выборки, тем уже доверительный интервал для каждой доверительной вероятности.
2.
Каждому студенту в соответствии со своим номером варианта требуется:
1) записать исходную выборку в виде таблицы;
2) построить статистический ряд;
3) записать сгруппированную выборку в виде таблицы;
4) построить график эмпирической функции распределения;
5) построить гистограмму (функция плотности распределения);
6) проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины Х и записать вычисления в таблицу;
7) оценить математическое ожидание и дисперсию
При выполнении работы принять P = 0,95, число интервалов k = 10
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
