Определить траекторию точки М которая движется в плоскости

По условию задания составим уравнение расстояния произвольной точки М(х; у) от точки P(1; -5) в 2 раза большего, чем от точки М до прямой y = 4.
x-12+y+52=2y-4;
Модуль в правой части взят, чтобы длина не была отрицательной для точек, расположенных ниже линии у = 4.
Возведем обе части равенства в квадрат:
x-12+y+522=2y-42;
x-12+y+52=4y-42.
Раскроем скобки и приведем подобные:
x2-2x+1+y2+10y+25=4y2-32y+64;
x2-2x+1+y2+10y+25-4y2+32y-64=0;
x2-2x-3y2+42y-38=0.
Получили уравнение кривой второго порядка общего вида:
Аx2+Вxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, в котором B=0, а A=1, C=-3.
Так как A∙C=1∙-3=-3<0, то уравнение x2-2x-3y2+42y-38=0 определяет гиперболу.
В уравнении x2-2x-3y2+42y-38=0 выделим полные квадраты:
x2-2x+1-1-3y2-14y-38=0;
x2-2x+1-1-3y2-14y+49-49-38=0;
x2-2x+1-1-3y2-14y+49+147-38=0;
x-12-3y-72+108=0;
x2-12-3y2-72=-108.
Разделим обе части равенства на ( - 108 ):
x-12-108-3y-72-108=1;
-x-12108+y-7236=1;
-x-12632+y-7262=1 .
Получили уравнение гиперболы с центром в точке S1;7 в прямоугольной системе координат ХОУ.
По условию задачи требуется сначала привести уравнение к каноническому виду, и только потом выполнить чертеж. Поэтому, сначала, приведем полученное уравнение к каноническому виду:
Выполним параллельный перенос осей координат так, чтобы начало координат новой системы координат XOY совпало с центром гиперболы, т.е.
O=S1;7