Определить тип уравнения и найти его решение

Данное уравнение является линейным. Решим его с помощью следующей замены:
y=uv
Тогда:
y'=u'v+uv'
Подставляем в исходное уравнение данные замены:
u'v+uv'+uvx-3*(x-5)=x-5
u'v+uv'+vx-3x-5=x-5
Получаем систему уравнений:
v'+v(x-3)(x-5)=0u'v=x-5
Решим первое уравнение системы:
v'+v(x-3)(x-5)=0
v'=-v(x-3)(x-5)
dvv=-dx(x-3)(x-5)
Вычислим интеграл от правой части отдельно, выпишем:
dx(x-3)(x-5)
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей, получим:
1(x-3)(x-5)=Ax-3+Bx-5
A*x-5+B*x-3=1
Ax-5A+Bx-3B=1
Получаем систему уравнений:
A+B=0-5A-3B=1
Решаем:
A+B=0-5A-3B=1→A=-B5B-3B=1→A=-B2B=1→A=-12B=12
Тогда подынтегральное выражение перепишется так:
1(x-3)(x-5)=Ax-3+Bx-5=-12x-3+12(x-5)
Тогда:
dvv=-dx(x-3)(x-5)
dvv=--12x-3+12x-5dx
dvv=12dxx-3-12dxx-5
lnv=12lnx-3-12lnx-5
lnv=lnx-3-lnx-5
lnv=lnx-3x-5
v=x-3x-5
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдём его решение:
u'x-3x-5=x-5
u' x-3=x-5
du=x-5x-3dx
u=23xx-3-6x-3+C
Теперь сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=x-3x-5*23xx-3-6x-3+C