Определить аналитична ли функция w=f(z) и. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Определить аналитична ли функция w=f(z) и

Определить аналитична ли функция w=f(z) и .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Определить, аналитична ли функция w=f(z) и, если да, найти ее производную в заданной точке z0 w=ze-z, z0=-i

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Пусть z=x+iy, тогда:
w=ze-z=x+iy∙e-x-iy=x+iy∙e-x∙e-iy=
=x+iy∙e-x∙cos-y+isin-y=
=xe-xcos-y-ye-xsin-y+i∙(ye-xcos-y+xe-xsin(-y))
Re w=ux,u=xe-xcos-y-ye-xsin-y
Im w=vx,u=ye-xcos-y+xe-xsin-y
Найдем частные производные действительной и мнимой частей функции:
∂u∂x=e-xcos-y-xe-xcos-y+ye-xsin-y
∂u∂y=xe-xsin(-y)-e-xsin-y+ye-xcos(-y)
∂v∂x=-ye-xcos-y+e-xsin-y-xe-xsin-y
∂v∂y=e-xcos-y+ye-xsin-y-xe-xcos-y
Получаем, что:
∂u∂x=∂v∂y; ∂u∂y=-∂v∂x
Функция всюду непрерывна, при этом выполняются условия Коши-Римана, поэтому функция всюду аналитична.
w'=∂u∂x+i∙∂v∂x=e-xcos-y-xe-xcos-y+ye-xsin-y+
+i∙-ye-xcos-y+e-xsin-y-xe-xsin-y
w'-i=w'0+(-1)∙i=cos1-sin1+i∙cos1+sin1=
=cos1+isin1+icos1+isin1=ei+i∙ei

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу