Определение линейных и угловых перемещений в однопролётной балке

Определение опорных реакций
Освобождаем балку от связей (опор), заменяя их действие реакциями связей.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия.
ΣМС = 0, F1·1,0 + m + RC·2,7 - q1·2,8·(1,2 + 1,4) = 0, отсюда находим:
RC = (- F1·1,0 - m + q1·7,28)/2,7 = (-12,0·1,0 -16 + 18·7,28)/2,7 = 38,16 кН.
ΣМВ = 0, F1·3,7 + m - RВ·2,7 + q1·1,52/2 - q1·1,32/2 = 0, отсюда находим:
RB = (F1·3,7 + m + 0,28·q1)/2,7 = (12,0·3,7 + 16 + 0,28·18)/2,7 = 24,24 кН.
Проверка. Должно выполняться условие равновесия: ΣFiy = 0.
ΣFiy = RB + RC - F1 - q1·2,8 = 24,24 + 38,16 - 12 - 18·2,8 = 62,4 - 62,4 = 0, следовательно опорные реакции определены - правильно.
2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ ПО ДЛИНЕ БАЛКИ
Разбиваем длину балки на четыре силовых участка и для каждого из них составляем аналитические выражения: Q = Q(z) и М = М(z), по которым определяем величины поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях.
1-ый участок (АВ): 0 ≤ z1 ≤ 1,0 м.
Q(z1) = - F1 = - 12 кН = const, следовательно QА = QлевВ = - 12 кН.
М(z1) = - F1·z1 - уравнение наклонной прямой.
М(0) = МА = - F1·0 = 0,
М(1,0) = МлевВ = - 12,0·1,0 = -12,0 кН·м.
2-ой участок (ВD): 0 ≤ z2 ≤ 1,2 м.
Q(z2) = - F1 + RB = - 12,0 + 24,24 = 12,24 кН = const, следовательно QправВ = QD =
= 12,24 кН.
М(z2) = - F1·(1,0 + z2) - m + RB·z2 - уравнение наклонной прямой.
М(0) = МправВ = -12,0·(1,0 + 0) - 16,0 + RB·0 = - 28,0 кН·м.
М(1,2) = МD = -12,0·(1,0 + 1,2) - 16,0 + 24,24·1,2 = -13,31 кН·м.
4-ый участок (ЕС): 0 ≤ z4 ≤ 1,3 м.
Q(z4) = q1·z4 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QE = q1·0 = 0,
Q(1,3) = QправC = 18·1,3 = 23,4 кН.
М(z4) = - q1·z24/2 - уравнение параболы.
М(0) = МЕ = q1·02/2 = 0,
М(1,3) = МС = -18·1,32/2 = -15,21 кН·м.
3-ий участок (СD): 0 ≤ z3 ≤ 1,5 м.
Q(z3) = q1·(1,3 + z3) - RC - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QлевC = 18·(1,3+0) - 38,16 = - 14,76 кН,
Q(1,5) = QD = 18·(1,3+1,5) - 38,16 = 12,24 кН, следовательно на этом участке поперечная сила Q меняет свой знак . Определим при каком значении z0 это происходит:
Q(z0) = q1·(1,3 + z0) - RC = 0, z0 = RC/q1 - 1,3 = 38,16/18 - 1,3 = 0,82 м.
М(z3) = - q1·(1,3 + z3)2/2 + RC·z3 - уравнение параболы.
М(0) = МС = -18·(1,3 + 0)2/2 + RC·0 = -15,21 кН·м.
М(1,5) = МD = -18·(1,3 + 1,5)2/2 + 38,16·1,5 = -13,31 кН·м.
М(z0) = М(0,82) = М0 = -18·(1,3 + 0,82)2/2 + 38,16·0,82 = - 9,16 кН·м.
По полученным результатам строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Опасное сечение балки в опоре В (справо).
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ СЕЧЕНИЯ БАЛКИ
Требуемый момент сопротивления опасного сечения по условию прочности на изгиб по нормальным напряжениям:
σu=Mu(max)Wx≤σu , где Mu(max)=28,0 кН·м – момент в опасном сечении;
σu=σyny=2401,0=240 МПа; тогда:
Wx≥Muσu=28,0·106240=116666 мм3 ≈ 116,7 см3, по таблице сортамента
ГОСТ 8239 - 89 « Двутавры стальные горячекатанные», выбираем двутавр №18,
имеющий WX = 143 cм3, JX = 1290 cм4.
Рис.Х.7.2. Эпюры сил и моментов.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ СЕЧЕНИЙ БАЛКИ
Для определения прогибов используем универсальное уравнение изогнутой линии (оси) балки:
yz=y0+φ0∙zi+1EJx∙ΣMiZi-aMi32!+Fizi-aFi33!++qi(zi-aqi)44!, где y0, φ0 – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;
zi - координата рассматриваемой точки;
Mi, Fi, qi – соответствующая нагрузка на рассматриваемом участке балки;
aMi, aFi, aqi – расстояния от начала координат до точек применения соответствующих нагрузок.
Рассмотрим четыре участка балки и составим выражение для прогибов балки в пределах этих участков:
у(z) = y0 + θ0·z + [-m·(z-0)2/2 - F1·(z +1,0)3/6 + RB·(z - 0)3/6 + RC·(z - 2,7)3/6 -
- q1·(z - 1,2)4/24]/E·JX
где y0=0 (опора В)