Определение линейных и угловых перемещений в однопролётной балке
Исходные данные
F1 = 12 кН, q1 = 18 кН/м, m = 16 кН·м.
Требуется:
1. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
2. Подобрать баку двутаврового поперечного сечения по максимальному значению изгибающего момента, приняв σу = 240 МПа, с коэффициентом условной работы γс = 1.
3. Определить прогибы и углы поворота на концах консолей и на опорах балки, используя дифференциальное уравнение упругой оси балки.
Рис.Х.7.1. Расчетная схема.
Решение
Определение опорных реакций
Освобождаем балку от связей (опор), заменяя их действие реакциями связей.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия.
ΣМС = 0, F1·1,0 + m + RC·2,7 - q1·2,8·(1,2 + 1,4) = 0, отсюда находим:
RC = (- F1·1,0 - m + q1·7,28)/2,7 = (-12,0·1,0 -16 + 18·7,28)/2,7 = 38,16 кН.
ΣМВ = 0, F1·3,7 + m - RВ·2,7 + q1·1,52/2 - q1·1,32/2 = 0, отсюда находим:
RB = (F1·3,7 + m + 0,28·q1)/2,7 = (12,0·3,7 + 16 + 0,28·18)/2,7 = 24,24 кН.
Проверка. Должно выполняться условие равновесия: ΣFiy = 0.
ΣFiy = RB + RC - F1 - q1·2,8 = 24,24 + 38,16 - 12 - 18·2,8 = 62,4 - 62,4 = 0, следовательно опорные реакции определены - правильно.
2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ ПО ДЛИНЕ БАЛКИ
Разбиваем длину балки на четыре силовых участка и для каждого из них составляем аналитические выражения: Q = Q(z) и М = М(z), по которым определяем величины поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях.
1-ый участок (АВ): 0 ≤ z1 ≤ 1,0 м.
Q(z1) = - F1 = - 12 кН = const, следовательно QА = QлевВ = - 12 кН.
М(z1) = - F1·z1 - уравнение наклонной прямой.
М(0) = МА = - F1·0 = 0,
М(1,0) = МлевВ = - 12,0·1,0 = -12,0 кН·м.
2-ой участок (ВD): 0 ≤ z2 ≤ 1,2 м.
Q(z2) = - F1 + RB = - 12,0 + 24,24 = 12,24 кН = const, следовательно QправВ = QD =
= 12,24 кН.
М(z2) = - F1·(1,0 + z2) - m + RB·z2 - уравнение наклонной прямой.
М(0) = МправВ = -12,0·(1,0 + 0) - 16,0 + RB·0 = - 28,0 кН·м.
М(1,2) = МD = -12,0·(1,0 + 1,2) - 16,0 + 24,24·1,2 = -13,31 кН·м.
4-ый участок (ЕС): 0 ≤ z4 ≤ 1,3 м.
Q(z4) = q1·z4 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QE = q1·0 = 0,
Q(1,3) = QправC = 18·1,3 = 23,4 кН.
М(z4) = - q1·z24/2 - уравнение параболы.
М(0) = МЕ = q1·02/2 = 0,
М(1,3) = МС = -18·1,32/2 = -15,21 кН·м.
3-ий участок (СD): 0 ≤ z3 ≤ 1,5 м.
Q(z3) = q1·(1,3 + z3) - RC - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QлевC = 18·(1,3+0) - 38,16 = - 14,76 кН,
Q(1,5) = QD = 18·(1,3+1,5) - 38,16 = 12,24 кН, следовательно на этом участке поперечная сила Q меняет свой знак
. Определим при каком значении z0 это происходит:
Q(z0) = q1·(1,3 + z0) - RC = 0, z0 = RC/q1 - 1,3 = 38,16/18 - 1,3 = 0,82 м.
М(z3) = - q1·(1,3 + z3)2/2 + RC·z3 - уравнение параболы.
М(0) = МС = -18·(1,3 + 0)2/2 + RC·0 = -15,21 кН·м.
М(1,5) = МD = -18·(1,3 + 1,5)2/2 + 38,16·1,5 = -13,31 кН·м.
М(z0) = М(0,82) = М0 = -18·(1,3 + 0,82)2/2 + 38,16·0,82 = - 9,16 кН·м.
По полученным результатам строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Опасное сечение балки в опоре В (справо).
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ СЕЧЕНИЯ БАЛКИ
Требуемый момент сопротивления опасного сечения по условию прочности на изгиб по нормальным напряжениям:
σu=Mu(max)Wx≤σu , где Mu(max)=28,0 кН·м – момент в опасном сечении;
σu=σyny=2401,0=240 МПа; тогда:
Wx≥Muσu=28,0·106240=116666 мм3 ≈ 116,7 см3, по таблице сортамента
ГОСТ 8239 - 89 « Двутавры стальные горячекатанные», выбираем двутавр №18,
имеющий WX = 143 cм3, JX = 1290 cм4.
Рис.Х.7.2. Эпюры сил и моментов.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ СЕЧЕНИЙ БАЛКИ
Для определения прогибов используем универсальное уравнение изогнутой линии (оси) балки:
yz=y0+φ0∙zi+1EJx∙ΣMiZi-aMi32!+Fizi-aFi33!++qi(zi-aqi)44!, где y0, φ0 – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;
zi - координата рассматриваемой точки;
Mi, Fi, qi – соответствующая нагрузка на рассматриваемом участке балки;
aMi, aFi, aqi – расстояния от начала координат до точек применения соответствующих нагрузок.
Рассмотрим четыре участка балки и составим выражение для прогибов балки в пределах этих участков:
у(z) = y0 + θ0·z + [-m·(z-0)2/2 - F1·(z +1,0)3/6 + RB·(z - 0)3/6 + RC·(z - 2,7)3/6 -
- q1·(z - 1,2)4/24]/E·JX
где y0=0 (опора В)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
