Нелинейное программирование.
Оптимизация функции одной переменной
Для целевой функции
fx=A∙x3-x-E+C∙e-Dx
где A=C=D=№вар+1=10+1=11 и E=0,2∙№вар=0,2∙10=2
Определить минимальное значение x* на локальном отрезке a,b, используя различные численные методы 1 и 2 порядка, перечисленные ниже. Требуемая точность нахождения x* epsx приведена в таблице, она одинакова для всех методов. Требуемая точность нахождения f'x* epsy=0,01, она одинакова для всех методов и всех вариантов.
1. метод бисекций
2. метод хорд
3. метод касательных
4. метод Ньютона
В методе Ньютона за начальное приближение принимать конец локального отрезка a,b – точку b.
Таблица. Исходная информация для расчетов по методам «1» и «2» порядка.
Номер методов Заданный интервал epsx
1, 3, 4 0;2,8
0,025
Сравните эффективность примененных методов.
Решение
С учетом номера варианта получаем функцию
fx=11x3-x+2+11e-11x
1. метод бисекций.
Рассмотрим метод бисекции или методу половинного деления.
Шаг 1. Задаём a=0, b=2,8, ε=0,025.
Итерация_1.
Рассчитываем начальные точки деления:
x1=b-b-aФ=2,8-2,8-01,618≈1,069
x2=a-a-bФ=0-0-2,81,618≈1,731
Рассчитываем значение целевой функции в точках деления:
fx1=11∙1,0693-1,069+2+11e-11∙1,069≈14,386
fx2=11∙1,7313-1,731+2+11e-11∙1,731≈57,323
Так как fx1<fx2, то принимаем b=x2=1,731.
Оценка: b-a=1,731-0=1,731>0,025 – продолжаем вычисления.
Итерация_2.
Рассчитываем точки деления при 0;1,731:
x1=b-b-aФ=1,731-1,731-01,618≈0,661
x2=a-a-bФ=0-0-1,7311,618≈1,070
Рассчитываем значение целевой функции в точках деления:
fx1=11∙0,6613-0,661+2+11e-11∙0,661≈4,526
fx2=11∙1,0703-1,070+2+11e-11∙1,070≈14,4
Так как fx1<fx2, то принимаем b=x2=1,070.
Оценка: b-a=1,070-0=1,070>0,025 – продолжаем вычисления.
Итерация_3.
Рассчитываем точки деления при 0;1,07:
x1=b-b-aФ=1,07-1,07-01,618≈0,409
x2=a-a-bФ=0-0-1,071,618≈0,661
Рассчитываем значение целевой функции в точках деления:
fx1=11∙0,4093-0,409+2+11e-11∙0,409≈2,466
fx2=11∙0,6613-0,661+2+11e-11∙0,661≈4,524
Так как fx1<fx2, то принимаем b=x2=0,661.
Оценка: b-a=0,661-0=0,661>0,025 – продолжаем вычисления.
Занесем остальные вычисления в таблицу.
№ a
b
x1
x2
fx1
fx2
Оценка
1 0 2,8 1,069 1,731 14,386 57,323 1,731>0,025
2 0 1,731 0,661 1,07 4,526 14,4 1,070>0,025
3 0 1,07 0,409 0,661 2,466 4,524 0,661>0,025
4 0 0,661 0,252 0,409 2,612 2,466 0,661>0,025
5 0,252 0,661 0,408 0,505 2,463 2,954 0,409>0,025
6 0,252 0,505 0,349 0,408 2,355 2,463 0,0597>0,025
7 0,252 0,408 0,311 0,348 2,379 2,355 0,037>0,025
8 0,311 0,408 0,348 0,371 2,355 2,377 0,023<0,025
Результат x*=0,311+0,4082=0,3595, fmin=fx*=2,36.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
