Найти решение задачи, используя геометрическую интерпретацию.
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице:
Виды ресурсов Нормы затрат ресурсов
на одно изделие Общее количество
ресурсов
стол шкаф
Древесина I вида (м3) 0,2 0,1 40
Древесина II вида (м3) 0,1 0,3 60
Трудоемкость (чел.-час.) 1,2 1,5 371,4
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) 6 8
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
Ответ
Чтобы получить максимальную прибыль 1940 руб. от реализации мебели, фабрике следует изготовить 102 стола и 166 шкафов. При этом недоиспользуются 40 – (0,2·102 + 0,1·166) = 3 м3 древесины I вида. Ресурс древесины II вида 60 – (0,1·102 + 0,3·166) = 0 и ресурс трудоемкости 371,4 – (1,2·102 + 1,5·166) = 0 расходуются полностью.
Решение
1). Составляем математическую модель нашей задачи.
Вводим обозначения для количеств изготавливаемой мебели:
x1 – количество изготавливаемых столов (штук);
x2 – количество изготавливаемых шкафов (штук).
При этом прибыль от их реализации составит
F = 6·x1 + 8·x2 руб.
Целью решения задачи является определение среди всех допустимых таких значений x1 и x2, которые обеспечивают максимальную прибыль.
Рассмотрим ограничения задачи.
Количества изготавливаемой мебели не могут быть отрицательными, поэтому x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Кроме того, по смыслу задачи, x1 и x2 – целочисленные.
Другие ограничения задачи связаны с имеющимися ресурсами.
Математическая запись указанных ограничений такова:
0,2·x1 + 0,1·x2 ≤ 40 – имеющийся ресурс древесины вида I не может быть превышен, м3;
0,1·x1 + 0,3·x2 ≤ 60 – имеющийся ресурс древесины вида II не может быть превышен, м3;
1,2·x1 + 1,5·x2 ≤ 371,4 – имеющийся ресурс трудоёмкости не может быть превышен, чел.-час.
В целом соотношения математической модели задачи об оптимальных количествах изготавливаемой мебели выглядят следующим образом:
F = 6·x1 + 8·x2 max
при ограничениях
0,2·x1 + 0,1·x2 ≤ 40;
0,1·x1 + 0,3·x2 ≤ 60;
1,2·x1 + 1,5·x2 ≤ 371,4;
xj ≥ 0; xj – целочисленные; j = 1,2.
Словесная формулировка задачи может быть такой: найти количества изготавливаемых столов и шкафов X = (x1, x2), удовлетворяющие системе ограничений
0,2·x1 + 0,1·x2 ≤ 40;
0,1·x1 + 0,3·x2 ≤ 60;
1,2·x1 + 1,5·x2 ≤ 371,4
и условиям xj ≥ 0; xj – целочисленные; j = 1,2, для которых целевая функция F = 6·x1 + 8·x2 принимает максимальное значение.
2
. Решаем задачу графическим методом.
В системе координат x1Ox2 строим область допустимых решений (ОДР) системы неравенств. Для этого неравенства системы заменяем равенствами и получаем уравнения прямых, образующих границу ОДР. При построении прямые выделяем цветом.
Определяем множество решений первого неравенства 0,2·x1 + 0,1·x2 ≤ 40. Решением уравнения 0,2·x1 + 0,1·x2 = 40 являются точки (90; 220) и (210; –20). По этим точкам строим прямую, выделенную синим цветом. Множество решений строгого неравенства 0,2·x1 + 0,1·x2 < 40 определяем при помощи проверочной точки (0; 0), координаты которой подставляем в неравенство. Так как неравенство выполняется, то стрелки на прямой направляем в сторону точки (0; 0).
Определяем множество решений второго неравенства 0,1·x1 + 0,3·x2 ≤ 60. Решением уравнения 0,1·x1 + 0,3·x2 = 60 являются точки (–21; 207) и (210; 130). По этим точкам строим прямую, выделенную оранжевым цветом
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
