Найти решение первой смешанной задачи методом Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти решение первой смешанной задачи методом Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке

Найти решение первой смешанной задачи методом Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти решение первой смешанной задачи методом Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке: ut=25uxx, 0<x<8, t>0, (1) ux,0=x24, 0≤x≤4,8-x, 4<x≤8. (2) u0,t=u8,t=0, (3)

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

ux,t=16π3n=1∞1n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-5πn82tsinπnx8.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Для решения задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T' (t)=25X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 25Xx∙T(t)
T' (t)25T(t)=X''xXx=-λ=const ,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T'(t)+25λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, u8,t=X8⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X8=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X8=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X8=C2 sin8λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin8λ=0,
8λ=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn82, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπnx8, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn't+25πn82Tnt=0.
Tn'(t)+5πn82Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-5πn82t.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде
ux,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Ane-5πn82tsinπnx8.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (2)
ux,0=n=1∞Ansinπnx8=x24, 0≤x≤4,8-x, 4<x≤8.
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции в правой части в ряд Фурье по собственным функциям sinπnx8n=1∞
An =2804x24sinπnx8dx+488-xsinπnx8dx=
=14-8πn04x24dcosπnx8+488-xdcosπnx8=
=-2πnx24cosπnx804-042x4cosπnx8dx+8-xcosπnx848+48cosπnx8dx=
=-2πn4cosπn2-1204xcosπnx8dx-4cosπn2+48cosπnx8dx=
=-2πn8πn-1204x dsinπnx8+sinπnx848=
=-16π2n2-12xsinπnx804-04sinπnx8dx+sinπn-sinπn2=
=-16π2n2-124sinπn2+8πncosπnx804-sinπn2=
=-16π2n2-3sinπn2-4πncosπn2-1=-16π2n2-3sinπn2-4πncosπn2+4πn=
=16π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4.
Таким образом, решение исходной смешанной задачи имеет вид
ux,t=n=1∞16π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-5πn82tsinπnx8.
Ответ:
ux,t=16π3n=1∞1n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-5πn82tsinπnx8.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Найти решение первой смешанной задачи методом Фурье для уравнения теплопроводности на отрезке

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

Решение

Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Крайние элементы: Размах выборки Объем выборки n=74

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II