Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности

Введем сетку в области изменения независимых переменных:
wh={xi=ih, i=0,1,…,N}
h=0,1
определим из условия:
τ≤0,5(h2/k)
τ≤0,5*0,010,5=0,01
T=0,1
Таким образом, шаг по пространственной координате равен 0, 1, шаг по временной координате – 0,01. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются:
x=0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.
Временная координата t принимает значения:
t=0; 0,01; 0,02;0,03;0,04;0,05;0,06;0,07;0,08;0,09; 0,01.
Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:
u(xi,tj+τ)-u(xi,tj)τ=0,5u(xi-h,tj)-2u(xi,tj)+u(xi+h,tj)h2+sin⁡(πxi)e-tj
В граничных точках:
u0;0=1,
u0;0,01=0,
u0;0,02=0,
...
u0;0,10=0,
u1;0=0,
...
u1;0,10=0,
u0,1;0=0,
...
u1;0=0,
Первый слой:
u(0,1;0,01)-u(0,1;0)0,01=0,5u(0;0)-2u(0,1;0)+u(0,2;0)0,01+sin⁡(0,1π)e-0
u(0,2;0,01)-u(0,2;0)0,01=0,5u(0,1;0)-2u(0,2;0)+u(0,3;0)0,01+sin⁡(0,2π)e-0
u(0,3;0,01)-u(0,3;0)0,01=0,5u(0,2;0)-2u(0,3;0)+u(0,4;0)0,01+sin⁡(0,3π)e-0
u(0,4;0,01)-u(0,4;0)0,01=0,5u(0,3;0)-2u(0,4;0)+u(0,5;0)0,01+sin⁡(0,4π)e-0
u(0,5;0,01)-u(0,5;0)0,01=0,5u(0,4;0)-2u(0,5;0)+u(0,6;0)0,01+sin⁡(0,5π)e-0
u(0,6;0,01)-u(0,6;0)0,01=0,5u(0,5;0)-2u(0,6;0)+u(0,7;0)0,01+sin⁡(0,6π)e-0
u(0,7;0,01)-u(0,7;0)0,01=0,5u(0,6;0)-2u(0,7;0)+u(0,8;0)0,01+sin⁡(0,7π)e-0
u(0,8;0,01)-u(0,8;0)0,01=0,5u(0,7;0)-2u(0,8;0)+u(0,9;0)0,01+sin⁡(0,8π)e-0
u(0,9;0,01)-u(0,9;0)0,01=0,5u(0,8;0)-2u(0,9;0)+u(1;0)0,01+sin⁡(0,9π)e-0
Откуда находим значения для первого слоя:
u0,1;0,01-u0,1;0=0,5u0;0-u0,1;0+0,5u0,2;0+0,01sin⁡(0,1π)e-0
u0,2;0,01-u0,2;0=0,5u0,1;0-u0,2;0+0,5u0,3;0+0,01sin⁡(0,2π)e-0
u0,3;0,01-u0,3;0=0,5u0,2;0-u0,3;0+0,5u0,4;0+0,01sin⁡(0,3π)e-0
u0,4;0,01-u0,4;0=0,5u0,3;0-u0,4;0+0,5u0,5;0+0,01sin⁡(0,4π)e-0
u0,5;0,01-u0,5;0=0,5u0,4;0-u0,5;0+0,5u0,6;0+0,01sin⁡(0,5π)e-0
u0,6;0,01-u0,6;0=0,5u0,5;0-u0,6;0+0,5u0,7;0+0,01sin⁡(0,5π)e-0
u0,7;0,01-u0,7;0=0,5u0,6;0-u0,7;0+0,5u0,8;0+0,01sin⁡(0,6π)e-0
u0,8;0,01-u0,8;0=0,5u0,7;0-u0,8;0+0,5u0,9;0+0,01sin⁡(0,7π)e-0
u0,9;0,01-u0,9;0=0,5u0,8;0-u0,9;0+0,5u1;0+0,01sin⁡(0,8π)e-0
u0,1;0,01=0,5u0;0+0,5u0,2;0+0,01sin⁡(0,1π)
u0,2;0,01=0,5u0,1;0+0,5u0,3;0+0,01sin⁡(0,2π)
u0,3;0,01=0,5u0,2;0+0,5u0,4;0+0,01sin⁡(0,3π)
u0,4;0,01=0,5u0,3;0+0,5u0,5;0+0,01sin⁡(0,4π)
u0,5;0,01=0,5u0,4;0+0,5u0,6;0+0,01sin⁡(0,5π)
u0,6;0,01=0,5u0,5;0+0,5u0,7;0+0,01sin⁡(0,6π)
u0,7;0,01=0,5u0,6;0+0,5u0,8;0+0,01sin⁡(0,7π)
u0,8;0,01=0,5u0,7;0+0,5u0,9;0+0,01sin⁡(0,8π)
u0,9;0,01=0,5u0,8;0+0,5u1;0+0,01sin⁡(0,9π)
Найдены значения для первого слоя:
u(0,1;0,01)=0,00309
u(0,2;0,01)=0,00588
u(0,3;0,01)=0,00809
u(0,4;0,01)=0,00951
u0,5;0,01=0,01
u(0,6;0,01)=0,00951
u(0,7;0,01)=0,00809
u(0,8;0,01)=0,00588
u(0,9;0,01)=0,00309
Остальные расчеты в таблице:
t
x 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,1 0 0,00309 0,005998 0,008734 0,011305 0,013721 0,015989 0,018116 0,020111 0,021979 0,023728
0,2 0 0,005878 0,01141 0,016613 0,021504 0,026099 0,030412 0,034459 0,038253 0,041807 0,045133
0,3 0 0,00809 0,015704 0,022865 0,029597 0,035922 0,041859 0,047429 0,052651 0,057542 0,06212
0,4 0 0,009511 0,018461 0,02688 0,034794 0,042228 0,049208 0,055757 0,061895 0,067645 0,073026
0,5 0 0,01 0,019411 0,028263 0,036584 0,044402 0,051741 0,058626 0,06508 0,071126 0,076785
0,6 0 0,009511 0,018461 0,02688 0,034794 0,042228 0,049208 0,055757 0,061895 0,067645 0,073026
0,7 0 0,00809 0,015704 0,022865 0,029597 0,035922 0,041859 0,047429 0,052651 0,057542 0,06212
0,8 0 0,005878 0,01141 0,016613 0,021504 0,026099 0,030412 0,034459 0,038253 0,041807 0,045133
0,9 0 0,00309 0,005998 0,008734 0,011305 0,013721 0,015989 0,018116 0,020111 0,021979 0,023728
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Графики зависимости приближенного решения от x: