Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности

Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности ∂u∂t=0.4∂2u∂x2+2, 0<x<1, 0≤t≤0.05u0,t=1,u1,t=0, 0≤t≤0.05 ux,0=1-x, 0≤x≤1 Используя явную разностную схему. Взять h=b-a10=0.1, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближённого решения от x при τ=0, 2τ, 4τ,…0.05.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Разностная схема устойчива, если
τ≤h22=0.122=0.005
Введём регулярную сетку:
tn=nτ=0.005n, n=0, 1, 2,…, 10
xm=mh=0.1m, m=0, 1, 2,…, 10
umn=uxm, tn
Получаем следующую разностную схему:
umn+1-umnτ=0.4um-1n-2umn+um+1nh2+2
При этом
u0n=0, n=0, 1, 2,…, 10
u10n=0, n=0, 1, 2,…, 10
um0=0,m=0, 1, 2,…, 10
Тогда решение в следующий момент времени tn+1
umn+1=umn+0.4τh2um-1n-2umn+um+1n+2τ
Сведём вычисления в таблицу (значения в заштрихованных клетках определяются начально-краевыми условиями):
umn
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m x\t 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0,1 0,9 0,91 0,918 0,9248 0,93080 0,93622 0,94121 0,94585 0,95020 0,95432 0,95823
2 0,2 0,8 0,81 0,82 0,8296 0,83872 0,84738 0,85561 0,86347 0,87099 0,87820 0,88515
3 0,3 0,7 0,71 0,72 0,73 0,73992 0,74970 0,75929 0,76868 0,77786 0,78684 0,79561
4 0,4 0,6 0,61 0,62 0,63 0,64 0,64998 0,65993 0,66981 0,67962 0,68933 0,69892
5 0,5 0,5 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,55999 0,56997 0,57991 0,58979 0,59960
6 0,6 0,4 0,41 0,42 0,43 0,44 0,44998 0,45993 0,46981 0,47962 0,48933 0,49892
7 0,7 0,3 0,31 0,32 0,33 0,33992 0,34970 0,35929 0,36868 0,37786 0,38684 0,39561
8 0,8 0,2 0,21 0,22 0,2296 0,23872 0,24738 0,25561 0,26347 0,27099 0,27820 0,28515
9 0,9 0,1 0,11 0,118 0,1248 0,13080 0,13622 0,14121 0,14585 0,15020 0,15432 0,15823
10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Строим графики в различные моменты времени:

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу