Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности

Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти приближённое решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности ∂u∂t=0.4∂2u∂x2, 0<x<1, 0≤t≤0.05u0,t=0,u1,t=1-e-t, 0≤t≤0.05 ux,0=x-x2, 0≤x≤1 Используя явную разностную схему. Взять h=b-a10=0.1, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближённого решения от x при τ=0, 2τ, 4τ,…0.05.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Разностная схема устойчива, если
τ≤h22=0.122=0.005
Введём регулярную сетку:
tn=nτ=0.005n, n=0, 1, 2,…, 10
xm=mh=0.1m, m=0, 1, 2,…, 10
umn=uxm, tn
Получаем следующую разностную схему:
umn+1-umnτ=0.4um-1n-2umn+um+1nh2
При этом
u0n=0, n=0, 1, 2,…, 10
u10n=1-e-tn, n=0, 1, 2,…, 10
um0=xm-xm2,m=0, 1, 2,…, 10
Тогда решение в следующий момент времени tn+1
umn+1=umn+0.4τh2um-1n-2umn+um+1n
Сведём вычисления в таблицу (значения в заштрихованных клетках определяются начально-краевыми условиями):
umn
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m x\t 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0,1 0,09 0,096 0,1008 0,10488 0,10848 0,11173 0,11473 0,11751 0,12012 0,12259 0,12494
2 0,2 0,16 0,166 0,172 0,17776 0,18323 0,18843 0,19337 0,19808 0,20259 0,20692 0,21109
3 0,3 0,21 0,216 0,222 0,228 0,23395 0,23982 0,24557 0,25121 0,25672 0,26210 0,26737
4 0,4 0,24 0,246 0,252 0,258 0,264 0,26999 0,27596 0,28189 0,28777 0,29360 0,29937
5 0,5 0,25 0,256 0,262 0,268 0,274 0,28 0,28600 0,29199 0,29797 0,30393 0,30986
6 0,6 0,24 0,246 0,252 0,258 0,264 0,27000 0,27599 0,28198 0,28796 0,29392 0,29987
7 0,7 0,21 0,216 0,222 0,228 0,23399 0,23997 0,24593 0,25186 0,25778 0,26367 0,26954
8 0,8 0,16 0,166 0,172 0,17796 0,18387 0,18973 0,19554 0,20132 0,20705 0,21275 0,21841
9 0,9 0,09 0,096 0,101798 0,107469 0,11305 0,11856 0,12402 0,12943 0,13480 0,14013 0,14543
10 1 0 0,00499 0,00995 0,01489 0,01980 0,02469 0,02955 0,03439 0,03921 0,04400 0,04877
Строим графики в различные моменты времени:

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу