Найти при α=0,05. Доверительные интервалы β1 и β2 (если они значимы)

Составим уравнение множественной линейной регрессии y=a+b1x1+b2x2+ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
По результатам наблюдений оценить по МНК (метод наименьших квадратов) коэффициенты уравнения линейной регрессии:
По таблице исходных данных составить систему нормальных уравнений, для чего запишем следующие матрицы:
Найдем матрицу моментов:
Вычислим следующую матрицу:
Составим систему нормальных уравнений:
Решение в матричном виде будет иметь следующий вид:
где обратная матрица к матрице В.
Найдем обратную матрицу по формуле:
Находим решение системы в матричном виде:
На основании полученных оценок параметров составим уравнение производственной функции:
Оценить качество и надежность построенной модели:
Вычисляется коэффициент детерминации по формуле:
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. В нашем случае коэффициент детерминации равен 0,731. Следовательно, около 73,1% вариации зависимой переменной – фондоотдача в процентах на единицу ОПФ учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов: среднечасовая производительность печей и удельный вес активной части ОПФ.
Оценим с помощью F - критерия Фишера значимость уравнения линейной регрессии (α = 0,01):
Н0: модель незначима,
Н1: модель значима.
Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:
.
В нашем случае фактическое значение критерия Фишера:
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет Fтабл =3,89 . Так как Fнабл =16,29 > Fтабл =3,89, то уравнение регрессии признается статистически значимым. Сравниваем Fн и Fкр.да(α; k1;k2). Так как Fн > Fкр.да(α; k1;k2), то нулевая гипотеза о незначимости линейной модели отвергается при 5 – процентном уровне значимости. Принимается конкурирующая гипотеза Н1: модель значима и ее можно использовать для прогнозирования. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .
Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии:
Н0: bj= 0
Н1: bj≠ 0.
Конкурирующая гипотеза Н1 определяет двустороннюю критическую область.
Данная гипотеза Н0 проверяется с помощью критерия Стьюдента