Найти общее решение в зависимости от значения параметра λ

Если обозначить
A=5-3-4-2 3-2-1-1 -1λ122 4-31λ; X=x1x2x3x4; B=15λ+1-11λ-4-12λ+9-3λ+4.
тогда систему можно записать в виде AX=B.
Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае решить систему матричным методом, то есть с помощью обратной матрицы, не представиться возможность.
Итак, вычислим определитель
detA=5-3-4-2 3-2-1-1 -1λ122 4-31λ=
=5∙-2λ-3-1121-12λ-3∙-3λ-3-4121-22λ-1∙-3-2-3-4-11-2-1λ-4∙-3-2λ-4-112-2-12=
=5∙λ2-25λ-26-3∙4λ2-38λ-42-1∙-5λ-5-4∙2λ+2=
=5λ2-125λ-130-12λ2+114λ+126+5λ+5-8λ-8=-7λ2-14λ-7
Приравняем к нулю определитель:
-7λ2-14λ-7=0
λ2+2λ+1=0
D=22-4∙1∙1=4-4=0
λ=-2±02=-1
Так как D=0, то имеем единственный корень λ=-1.
detA=-7λ+1λ+1
Если λ≠-1, то матрица A имеет обратную матрицу.
Для данной матрицы четвёртого порядка вычислим обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений.
A11=-2λ-3-1121-12λ=λ2-25λ-26
A12=--3λ-3-4121-22λ=-4λ2+38λ+42
A13=-3-2-3-4-11-2-1λ=-5λ-5
A14=--3-2λ-4-112-2-12=-2λ-2
A21=-3-14-1121-12λ=-35λ-35
A22=5-14-4121-22λ=56λ+56
A23=-534-4-11-2-1λ=-7λ-7
A24=53-1-4-112-2-12=0
A31=3-14-2λ-3-12λ=3λ2+2λ-1
A32=-5-14-3λ-3-22λ=-5λ2-5λ
A33=534-3-2-3-2-1λ=-λ-1
A34=-53-1-3-2λ-2-12=λ+1
A41=-3-14-2λ-3-1121=-7λ-7
A42=5-14-3λ-3-4121=21λ+21
A43=-534-3-2-3-4-11=0
A44=53-1-3-2λ-4-112=-7λ-7
A-1=1detAA11A12A13A14 A21A22A23A24 A31A32A33A34 A41A42A43A44
A-1=1-7λ+1λ+1λ2-25λ-26-4λ2+38λ+42-5λ-5-2λ-2 -35λ-3556λ+56-7λ-70 3λ2+2λ-1-5λ2-5λ-λ-1λ+1 -7λ-721λ+210-7λ-7
A-1=λ-26-7λ+1357λ+13λ-1-7λ+1-4λ+42-7λ+156-7λ+15λ7λ+157λ+127λ+11λ+1017λ+1-17λ+1 1λ+1-3λ+101λ+1
и решение имеет вид X=A-1∙B.
Перемножив и упростив, получим:
X=26-λ7λ+1357λ+11-3λ7λ+14λ-427λ+1-567λ+15λ7λ+157λ+127λ+11λ+1017λ+1-17λ+1 1λ+1-3λ+101λ+1∙15λ+1-11λ-4-12λ+9-3λ+4=3λ-1114-23
Теперь подставим λ=-1 и решим как обычную систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами без параметров, например, методом гаусса.
При λ=-1 расширенная матрица имеет вид:
5-3-4-2 3-2-1-1 -1-1122 4-31-1 -147217~5000 3-0,21,40,2 -1-1,611,21,6 4-0,64,20,6 -14-1,49,81,4~5000 3-0,200 -1-1,600 4-0,600 -14-1,400
В результате получена стандартная ступенчатая матрица