Найти наибольшее и наименьшее значения функции z в заданной области D. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z в заданной области D

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z в заданной области D .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z в заданной области D: z=x3+y3-9xy+27, D: 0≤x≤a, 0≤y≤a, 3<a<9. 54076604445Р е ш е н и е. Область D изображена на рис. 3, является замкнутой, поэтому может достигать своих экстремальных значений. Приравняем первые частные производные нулю и решим полученную систему уравнений: ∂z∂x=3x2-9y=0,∂z∂y=3y2-9x=0⇒x2-3y=0,y2-3x=0⇒x=y23⇒y232-3y=0⇒ y4-27y=0⇒y3=27⇒y=3⇒x=3. Нулевые корни также включаем в решения полученной системы, так как они, как и полученное

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

;3, принадлежат границе области D, то есть данная функция достигает своих максимума и минимума на границе области.
Рассмотрим функцию на отрезке OA, то есть при y=0 ⇒z=x3+27. Так как 0≤x≤a, то данная функция достигает своих максимума и минимума на концах рассматриваемого отрезка: z1min0;0=0, z1maxa;0=27+a3.
На отрезке AB имеем x=a⇒za;y=a3+y3-9ay+27⇒
z'a;y=3y2-9a=0⇒y2=3a⇒y=3a.
Так как a>3, то среднее геометрическое 3<y<a, то есть a;3a принадлежит области D и она доставляет локальный минимум z''a;y=6y>0, который равен a3+3a3a-9a3a+27=a3-6a3a+27.
На отрезке BC имеем y=a⇒za;y=x3+a3-9xa+27⇒
z'x;a=3x2-9a=0⇒x2=3a⇒x=3a.
Аналогично предыдущему получим, что в точке 3a; a имеем локальный минимум, равный a3-6a3a+27<a3+27.
На отрезке CO имеем x=0⇒z0;y=y3+27. Так как 0≤y≤a, то данная функция также достигает своих максимума и минимума на концах рассматриваемого отрезка: z2min0;0=0, z2max0;a=27+a3.
Рассмотрим функцию параметра a: fa=a3-6a3a+27 . Дифференцируя ее по параметру a, получим уравнение для критических точек:
3a2-9a12=0⇒a32=3⇒a3=9⇒a=39⇒f39=9-639339+27=
=36-6339239=36-183>0,
то есть эта точка при данных условиях не является ни глобальным минимумом, ни глобальным максимумом.
Осталось сравнить найденные значения со значением функции в угловой точке a;a: za;a=a3+a3-9aa+27=2a3-9a2+27. Приравняем нулю производную по параметру a от этого выражения: 6a2-18a=0⇒a=3. В этой точке функция достигает минимума, равного нулю, так как вторая производная равна 12a-18⇒12·3-18=18>0. Но так как по условию задачи a>3, то это решение не является допустимым. Далее,
za;a=2a3-9a2+27=27+a3-a29-a<27+a3
на интервале 3<a<9, то есть на основании вышеизложенного получим, что
z1maxa;0=z2max0;a=27+a3, zmin0;0=0.
О т в е т: z1maxa;0=z2max0;a=27+a3, zmin0;0=0.
56299101451610Задание 9, а. Вычислить: 1) непосредственно и 2) по формуле Грина криволинейный интеграл второго рода: I=C2x2+y2dx+x+y2dy, где: C- контур треугольника с вершинами K1;1, L2;2, M1;3

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z в заданной области D

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Отделить корни аналитически. Проверить условия применимости метода Ньютона к решению уравнения на отрезке

Дифференциальное исчисление. Найти производные dydx

Человек заблудившийся в лесу вышел на пересечение трех тропинок