Для функции y=y(x) заданной таблицей своих значений

Запишем таблицу разделённых разностей:
fxi;xi+1=yi+1-yixi+1-xi;i=0,…,3.
fxi;xi+1;…;xi+k=fxi+1;xi+2;…;xi+k-fxi;xi+1;…;xi+k-1xi+k-xi; k=1,…,4
xi
yi
fxi;xi+1
fxi;xi+1;xi+2
fxi;xi+1;xi+2;xi+3
fxi;xi+1;xi+2;xi+3;xi+4
-5 -2 0 0,625 -0.225 -1/240
-3 -2 2.5 -0,5 -0,25
-1 3 1 -1,5
0 4 -2
1 2
Если определить произведение:
ωix=x-x0∙x-x1∙…∙x-xi-1,
то первый полином Ньютона 4-го можно записать:
N4Ix=y0+fx0;x1ω1x+fx0;x1;x2ω2x+fx0;x1;x2;x3ω3x+
+fx0;x1;x2;x3;x4ω4x.
Итак,
N4Ix=-2+0.625x+5x+3-0.225x+5x+3x+1-
-xx+5x+3x+1240;
N4Ix=-x4240-21x380-359x2240-19x80+4
Приближённое значение функции в точке x0=-2.44:
f-2.44≈N4I-2.44≈-0.6605.
Погрешность при x0=-2.44 приближённо можно оценить как модуль последнего слагаемого ε≤x0+5x0+3x0+1x012=0.42.
С учётом погрешности f-2.44=-0.66±0.42.