Найти допустимые экстремали и исследовать на экстремум

Имеем:
L=2y1+y22+y1'2+y2'2
∂L∂y1=2;∂L∂y1'=2y1'
∂L∂y2=2y2;∂L∂y2'=2y2'
Тогда:
ddx∂L∂y1'=2y1''
ddx∂L∂y2'=2y2''
Записываем систему уравнений Эйлера.
∂L∂y1-ddx∂L∂y1'=0∂L∂y2-ddx∂L∂y2'=0
Получаем:
2-2y1''=02y2-2y2''=0
Или:
y1''=1y2''-y2=0
Рассмотрим первое уравнение:
y1''=1
Дважды интегрируя, получаем:
y1=x22+c1x+c2
Рассмотрим второе уравнение:
y2''-y2=0
Его характеристическое уравнение:
k2-1=0 k=±1
Т.е . общее решение второго уравнения:
y2=c3ex+c4e-x
Получили общее решение системы:
y1=x22+c1x+c2y2=c3ex+c4e-x
Константы определяем из условий y10=0,y20=1,y11=12,y21=e-1:
0=c21=c3+c412=12+c1+c2e-1=c3e1+c4e-1 c1=0c2=0c3=0c4=1
Получили допустимую экстремаль:
y1=x22y2=e-x
Для всякой вектор функции ηx∈C1[0;1], такой что η0=η1=0, имеем:
∆J=Jy1+η1,y2+η2-Jy1,y2=
=012y1+η1+y2+η22+y1'+η1'2+y2'+η2'2dx-012y1+y22+y1'2+y2'2dx=
=012η1+2y2η2+η22+2y1'η1'+η1'2+2y2'η2'+η2'2dx
Далее, с учетом того, что η0=η1=0:
012y1'η1'dx=dv=η1'dxv=η1u=2y1'du=2y1''dx=2y1'η101=0-012y1''η1dx
012y2'η2'dx=dv=η2'dxv=η2u=2y2'du=2y2''dx=2y2'η201=0-012y2''η2dx
Получаем:
∆J=01η22dx≥0+01η1'2dx≥0+01η2'2dx≥0+2011-y1''=0, т.к