Найти указанные неопределенные интегралы и результат интегрирования проверить дифференцированием

В данном случае применим метод интегрирования по частям, получим:
x+1*lnxdx=u=lnxdu=dxxv=x22+x=x22+xlnx-x22+x*dxx=x22+xlnx-x2+1dx=x22+xlnx-x24-x+C
Теперь сделаем проверку, продифференцируем полученный результат:
x22+xlnx-x24-x+C'=x+1*lnx+x22+xx-12x-1=x+1*lnx+xx2+1x-x2-1=x+1*lnx+x2+1-x2-1=x+1*lnx
Так как была получена исходная подынтегральная функция, делаем вывод, что интеграл найден правильно.