Найти статистический момент относительно плоскости P. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти статистический момент относительно плоскости P

Найти статистический момент относительно плоскости P .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти статистический момент относительно плоскости P:z=0 однородного тела, ограниченного поверхностями: S1: x2+y2+z2=4 и S2: x2+y2=z2, z≥0.

Ответ

SXY=2π.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Статистический момент относительно плоскости z=0 (XOY):
SXY=Vz∙μx,y,zdv.
Учитывая, что тело однородное, μx,y,z=1.
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x=ρcosφy=ρsinφz=z;dxdydz=ρdρdφdz
Снизу тело ограничено снизу конусом x2+y2=z2, сверху – сферой x2+y2+z2=4.
x2+y2=z2⟹ρ2cos2φ+ρ2sin2φ=z2⟹z2=ρ2⟹z=ρ
x2+y2+z2=4⟹ρ2cos2φ+ρ2sin2φ+z2=4⟹z=4-ρ2.
x2+y2+z2=4x2+y2=z2⟹x2+y2+x2+y2=4⟹x2+y2=2⟹
ρ2=2⟹ρ∈0;2; φ∈0;2π.
SXY=Vz∙μx,y,zdv=02πdφ02ρdρρ4-ρ2zdz=02πdφ02ρdρ∙z22ρ4-ρ2=02πdφ02ρdρ∙4-ρ222-ρ22=02πdφ022ρ-ρ3dρ=02πdφ∙ρ2-ρ4402=02πdφ∙22-244=02πdφ=φ02π=2π.
Ответ: SXY=2π.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу