Найти среднее число выстрелов необходимых для двукратного попадания в цель

Т.е. будем стрелять до тех пор, пока не попадём 2 раза. Пусть случайная величина X – число выстрелов, необходимых для двукратного попадания в цель
PX=2=p2
При k выстрелах мы попадаем последним, значит в предыдущих k-1 выстрелах будет одно попадание из k-1:
PX=k=Ck-11p∙1-pk-2∙p=k-1p21-pk-2
Закон распределения:
X
2 3 4 … k
…
P
p2
2p21-p
3p21-p2
k-1p21-pk-2
Находим математическое ожидание (среднее число выстрелов):
MX=k=2∞kPX=k=k=2∞kk-1p21-pk-2=
=p2k=2∞kk-11-pk-2
k=0∞1-pk=11-1-p=1p
k=0∞1-pk'=1p'⟹k=1∞k1-pk-1=-1p2
k=1∞k1-pk-1'=-1p2'⟹k=2∞kk-11-pk-2=2p3
Тогда:
MX=p2∙2p3=2p
Среднее число выстрелов, необходимых для двукратного попадания в цель равно 2p.