Для контроля качества продукции случайным образом отобрано четыре изделия

1) Определить вероятности следующих событий
а) так как  p=0,677;  q=0,323; n=4; Pnk= Cnk*pk*qn-k, то имеем:
P40= C40p0q4-0=4!0!4!0,67700,3234=0,011;
P41= C41p1q4-1=4!1!3!0,67710,3233=0,091;
P42= C42p2q4-2=4!2!2!0,67720,3232=0,287;
P43= C43p3q4-3=4!3!1!0,67730,3231=0,401;
P44= C44p4q4-4=4!4!0!0,67740,3230=0,210
Контроль: 0,011+0,091+0,287+0,401+0,210=1,00.
б) Число бракованных изделий будет не менее двух:
Pnk≥2=24Pnk=Pn(2)+Pn(3)+Pn(4)
Pnk≥2=0,287+0,401+0,210=0,898
в) Число бракованных изделий будет не более трëх
Pnk≤3=02Pnk=Pn0+Pn1+Pn2+Pn3
Pnk≤3=0,011+0,091+0,287+0,401=0,79
г) появится хотя бы одно бракованное изделие
Pnk≥1=1-Р0=1-0,011=0,989
2)Построить ряд распределения, многоугольник распределения, вычислить и построить график функции распределения случайной величины - числа появлений бракованных изделий
Ряд распределения случайной величины Х представим в таблице, учитывая, что все возможные значения этой случайной величины равны 0, 1, 2, 3, 4, а вероятности этих значений получили по формуле Бернулли
x 0 1 2 3 4
p 0,011 0,091 0,287 0,401 0,210
Выбрав произвольно масштаб по осям х и р, строим многоугольник распределения
Многоугольник распределения
Найдем функцию распределения . Для дискретной величины Х значения функции распределения.
При х=0
При х=1
При х=2
При х=3
При х=4
При х>4 F(0)=P(X<0)=0
F(1)=P(X<1)=РХ=0=0,011
F(2)=P(X<2)=РХ=0+РХ=1=0,011+0,091=0,102
F(3)=P(X<3)=РХ=0+РХ=1+РХ=2=0,011+0,091+0,287=0,389
F(4)=P(X<4)=РХ=0+РХ=1+РХ=2+РХ=3=0,011+0,091+0,287+0,401=0,79
F(X)=1
Откладывая по оси абсцисс значения х, а по оси ординат значения F(x) получим график функции распределения
Функция распределения дискретной величины
Определить вероятнейшее число появлений бракованных изделий (по формуле и графику многоугольника распределения)
Так как максимальное значение вероятности P43=0,401 соответствует числу k=3 , то, очевидно, k0=3  есть вероятнейшее число попаданий в мишень.
np-q≤k0≤np+p
4*0,677-0,323≤k0≤4*0,677+0,323
2,385≤k0≤3,031
k0=3
Определить вероятность того, что число появления бракованных изделий будет заключено в пределах от 2 до 4
P42≤k<4= F(4)-F(2)=0,79-0,102=0,688
Найти математическое ожидание, дисперсию (по основной и контрольной формулам), и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины - числа появления бракованных изделий.
Математическое ожидание M(X)=i=1nxipi=0*0,011+1*0,091+2*0,287+3*0,401+4*0,210=2,708
Дисперсия D(X)=i=1n(xi-M(X)2pi =
(0-2,708)2*0,011+(1-2,708)2*0,091+(2-2,708)2*0,287+(3-2,708)2*0,401+(4-2,708)2*0,210=0,8747
Среднее квадратическое отклонение σХ=D(X).
σХ=0,8747=0,935