Найти решение задачи Коши y''=8sin3ycosy

Заменим: y'=z(y), y''=z'z. Получаем:
z'z=8sin3ycosy;
dzdyz=8sin3ycosy;
это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
z dz=8sin3ycosydy;
z dz=8sin3ydsiny;
z22=2sin4y+C1;
z=4sin4y+2C1;
Проведем обратную замену z=y':
y'=4sin4y+2C1;
Найдем C1 из условий y1=π2, y'1=2:
2=4sin4π2+2C1;
C1=0;
Получили:
y'=4sin4y;
dydx=2sin2y-
это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
dysin2y=2 dx;
-ctg y=2x+C2;
Найдем C2 из условия y1=π2:
-ctg π2=2∙1+C2;
0=2+C2;
C2=-2;
Получили частное решение дифференциального уравнения:
-ctg y=2x-2.