Найти общий интеграл дифференциального уравнения

5xy2+3x3dydx=6yx2+y2dxdx
5xy2+3x3y'=6y(x2+y2)
Сделаем замену:
y=tx
Тогда:
y'=t'x+t
Подставляем в уравнение данные замены:
5xt2x2+3x3*t'x+t=6txx2+t2x2
5x3t2+3x3*t'x+t=6x3t(1+t2)
x35t2+1*t'x+t=6x3t1+t2
5t2+1*t'x+t=6t1+t2
5t2+1t'x+5t2+1*t=6t(1+t2)
5t2+1t'x+5t3+t=6t+6t3
5t2+1t'x=t3+5t
5t2+1t3+5tdt=dxx
Найдём интеграл от левой части отдельно, для этого разложим дробь на сумму простейших дробей и применим метод неопределенных коэффициентов, получим:
5t2+1t3+5t=5t2+1t(t2+5)=At+Bt+Ct2+5
A*t2+5+Bt+C*t=5t2+1
At2+5A+Bt2+Ct=5t2+1
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+B=5C=05A=1→B=5-15=245C=0A=15
Тогда подынтегральная функция перепишется так:
5t2+1t3+5t=15t+24t5*t2+5
Перепишем, получим, что:
5t2+1t3+5tdt=dxx
15t+24t5*t2+5dt=dxx
15dtt+245*12dt2+5t2+5=dxx
15lnt+125lnt2+5=lnx+C
Сделаем обратную замену и получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
t=yx
15lnyx+125lny2x2+5-lnx=C