Решить дифференциальные уравнения y''-4y'+8y=ex3sinx+5cosx

Решаем сначала однородное уравнение:
y''-4y'+8y=0.
Составляем характеристическое уравнение:
y''-4y'+8y=0⟹k2-4k+8=0⟹k1,2=-(-4)±(-4)2-4∙1∙82∙1=4±4i2⟹k1=2+2i;k2=2-2i.
Корни характеристического уравнения действительные и разные, следовательно,
yоднx=e2xC1cos2x+C2sin2x.
Числа z=α±βi=1±i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения запишется в виде y*=exAcosx+Bsinx.
Найдем
y*'=exAcosx+Bsinx+ex-Asinx+Bcosx=excosxA+B+sinx(B-A);
y*''=excosxA+B+sinx(B-A)+ex-sinxA+B+cosx(B-A)=excosxA+B+B-A+sinxB-A-A-B=excosx∙2B+sinx∙-2A
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
excosx∙2B+sinx∙-2A-4excosxA+B+sinx(B-A)+8exAcosx+Bsinx=ex3sinx+5cosx
cosx∙-2B+4A+sinx∙2A+4B=3sinx+5cosx
⟹-2B+4A=52A+4B=3⟹A=1310B=110.
Тогда y*=ex1310cosx+110sinx.
Общее решение исходного уравнения:
yx=yоднx+y*x=C1e2xcos2x+C2e2xsin2x+1310excosx+110exsinx.
Ответ: yx=C1e2xcos2x+C2e2xsin2x+1310excosx+110exsinx.