Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

Из второго уравнения имеем
x=y'+4y.
Тогда из первого уравнения следует
x'=-y'-4y-2y=-y'-6y.
Продифференцируем второе уравнение по t
y''=x'-4y'
(6)
Подставим в него x'
y''=-y'-6y-4y',
y''+5y'+6y=0
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами . Найдем корни характеристического уравнения
k2+5k+6=0,
D=52-4⋅1⋅6=1
k1,2=-5±12=-3,-2
yt=C1e-3t+C2e-2t,
где C1,C2 − произвольные постоянные.
Тогда
xt=y'+4y=-3C1e-3t-2C2e-2t+4C1e-3t+C2e-2t=C1e-3t+2C2e-2t.
Ответ:
xt=C1e-3t+2C2e-2t, yt=C1e-3t+C2e-2t.
Проверка:
x'+x+2y=-3C1e-3t-4C2e-2t+C1e-3t+2C2e-2t+2C1e-3t+2C2e-2t=0,
y'-x+4y=-3C1e-3t-2C2e-2t-C1e-3t-2C2e-2t+4C1e-3t+4C2e-2t=0.
Система (5) выполнена.