Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений. Сделать проверку найденного решения. x'=-x-2y,y'=x-4y (5)

Ответ

xt=C1e-3t+2C2e-2t, yt=C1e-3t+C2e-2t. Проверка: x'+x+2y=-3C1e-3t-4C2e-2t+C1e-3t+2C2e-2t+2C1e-3t+2C2e-2t=0, y'-x+4y=-3C1e-3t-2C2e-2t-C1e-3t-2C2e-2t+4C1e-3t+4C2e-2t=0. Система (5) выполнена.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Из второго уравнения имеем
x=y'+4y.
Тогда из первого уравнения следует
x'=-y'-4y-2y=-y'-6y.
Продифференцируем второе уравнение по t
y''=x'-4y'
(6)
Подставим в него x'
y''=-y'-6y-4y',
y''+5y'+6y=0
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами . Найдем корни характеристического уравнения
k2+5k+6=0,
D=52-4⋅1⋅6=1
k1,2=-5±12=-3,-2
yt=C1e-3t+C2e-2t,
где C1,C2 − произвольные постоянные.
Тогда
xt=y'+4y=-3C1e-3t-2C2e-2t+4C1e-3t+C2e-2t=C1e-3t+2C2e-2t.
Ответ:
xt=C1e-3t+2C2e-2t, yt=C1e-3t+C2e-2t.
Проверка:
x'+x+2y=-3C1e-3t-4C2e-2t+C1e-3t+2C2e-2t+2C1e-3t+2C2e-2t=0,
y'-x+4y=-3C1e-3t-2C2e-2t-C1e-3t-2C2e-2t+4C1e-3t+4C2e-2t=0.
Система (5) выполнена.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу