Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Умножим обе части уравнения на y2:
3y'y2+2xy3=6xe-2x2
Выполним замену переменной: z=y3 => 3y2y'=z'
z'+2xz=6xe-2x2
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка . Найдем решение линейного однородного уравнения:
z'+2xz=0
dzdx+2xz=0 dzdx=-2xz dzz=-2xdx
Интегрируем обе части уравнения:
dzz=lnz -2xdx=-x2+lnC
lnz=-x2+lnC z=Ce-x2
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
z=Cxe-x2 => z'=C'xe-x2-2xe-x2Cx
Подставим данные значения в неоднородное уравнение:
C'xe-x2-2xe-x2Cx+2xCxe-x2=6xe-2x2
C'xe-x2=6xe-2x2
C'x=6e-x2x =>
Cx=6e-x2xdx=-3e-x2d-x2=-3e-x2+C1
z=Cxe-x2=-3e-2x2+C1e-x2
z=y3 => y=3-3e-2x2+C1e-x2
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=-1 => -1=3-3+C1 => C1=2
Частное решение уравнения:
y=3-3e-2x2+2e-x2