Найти общее решение системы ДУ dx1dt=3x1+8x2dx2dt=-x1-3x2

Выразим из второго уравнения системы переменную x1:
dx2dt=-x1-3x2→x1=-dx2dt-3x2
Продифференцируем по t обе части:
dx1dt=-d2x2dt2-3dx2dt
Подставляем в первое уравнение полученные выражения:
-d2x2dt2-3dx2dt=3*-dx2dt-3x2+8x2
-d2x2dt2-3dx2dt=-3dx2dt-9x2+8x2
d2x2dt2-x2=0
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-1=0
k-1k+1=0
k1=-1;k2=1
Тогда решение данного уравнения выглядит так:
x2=C1e-t+C2et
Найдём первую производную от полученного решения:
dx2dt=-C1e-t+C2et
Подставляем в выражение:
x1=-dx2dt-3x2=--C1e-t+C2et-3*C1e-t+C2et=C1e-t-C2et-3C1e-t-3C2et=-2C1e-t-4C2et
Тогда общее решение данной системы уравнений выглядит так:
x1=-2C1e-t-4C2etx2=C1e-t+C2et, C1,C2-const