Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. xy'=y+xe2yx. (1)

Ответ

y=-x2lnC-lnx2, где C − произвольная постоянная. Проверка: y'=-12lnC-lnx2-x2∙1C-lnx2∙-1x2∙2x=-12lnC-lnx2+1C-lnx2. xy'-y-xe2yx=-x2lnC-lnx2+xC-lnx2+x2lnC-lnx2-xe-lnC-lnx2= =xC-lnx2-xC-lnx2=0. Уравнение (1) выполнено.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Это однородное уравнение первого порядка. Проведем в уравнении (1) замену
z=yx, y=zx, y'=zx'=z'x+z.
Подставляем в уравнение
xz'x+z=zx+xe2z, ⟹ z'x=e2z, ⟹ e-2zz'=1x
e-2zdz=dxx+C, ⟹ -12 e-2z=lnx+C1, ⟹
e-2z=-2lnx-2C1, ⟹ e-2z=-lnx2+C, где C=2C1,
-2z=ln-lnx2+C, ⟹ z=-12ln-lnx2+C,
y=-x2lnC-lnx2.
Ответ:
y=-x2lnC-lnx2,
где C − произвольная постоянная.
Проверка:
y'=-12lnC-lnx2-x2∙1C-lnx2∙-1x2∙2x=-12lnC-lnx2+1C-lnx2.
xy'-y-xe2yx=-x2lnC-lnx2+xC-lnx2+x2lnC-lnx2-xe-lnC-lnx2=
=xC-lnx2-xC-lnx2=0.
Уравнение (1) выполнено.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу