Найти общее решение используя метод неопределенных коэффициентов

Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения
y''-2y'-3y=0⟹k2-2k-3=0⟹
k1,2=-(-2)±(-2)2-4∙(-2)∙(-3)2∙1=2±42⟹
k1=-1; k2=3.
Итак, корни характеристического уравнения разные, следовательно, общее решение однородного уравнения:
yодн=C1ek1x+C2ek2x=C1e-x+C2e3x.
Решение исходного неоднородного уравнения y''-2y'-3y=2e-x найдем методом неопределенных коэффициентов . Правая часть уравнения fx=2e-x. Проверяемое в этом случае число – «-1» совпадает с одним из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y*=Axe-x.
Подставляем y*=Axe-x в уравнение:
y*'=Ae-x-Axe-x; y*''=-2Ae-x+Axe-x
-2Ae-x+Axe-x-2Ae-x-Axe-x-3Axe-x=2e-x
-2Ae-x+Axe-x-2Ae-x+2Axe-x-3Axe-x=2e-x
-4Ae-x=2e-x
-4A=2⟹A=-12.
Таким образом, y*=-12xe-x.
Общее решение неоднородного уравнения:
yx=yодн+y*=C1e-x+C2e3x-12xe-x.
Ответ: yx=C1e-x+C2e3x-12xe-x.