Найти общее решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения, пользуясь его однородностью yxy''+y'=xy'21-x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Пользуясь тем, что оно однородное, сделаем замену и понизим степень дифференциального уравнения:
y'=y*z
y''=y'z+yz'=yz2+yz'
Упростим данное уравнение
xy''+y'=x1-xy*y'2
y''+1xy'=1-xyy'2
Подставим y' и y''
yz2+yz'+yzx=1-xyy2z2
yz2+yz'+yzx=y1-xz2|*1y
z2+z'+zx-z21-x=0
z'+zx+z21-1+x=0
z'+zx+xz2=0
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, вида Бернулли . Разделим на z2 и произведем замену
z'z2+1x*1z+x=0
t=1z→t'=-z'z2
-t'+1xt+x=0
t'-1xt-x=0
получили линейное неоднородное уравнение первого порядка, произведем замену:
t=uv→t'=u'v+uv'
u'v+uv'-1xuv-x=0
u'v+uv'-1xv=x
v'-1xv=0u'v=x
1
v'=1xv
dvdx=1xv→dvv=dxx→lnv=lnx→v=x
2
u'*v=x
u'*x=x
u'=1→u=x+C
t=uv=xx+C
t=1z→z=1t=1xx+C
y'=y*z→y'=y*1xx+C
Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
y'y=1xx+C
dyy=dxxx+C
dyy=dxxx+C
lny=dxxx+C
1xx+C=разложим на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов=
=Ax+Bx+C,C=const=Ax+C+Bxx(x+C)=Ax+AC+Bxx(x+C)=xA+B+A*Cx(x+C)
A+B=0A*C=1→A=1CB=-1C
1x(x+C)=1Cx-1C(x+C)
dxxx+C=1Cdxx-1Cdx+Cx+C=1Clnx-1Clnx+C=1Clnxx+C
→lny=1Clnxx+C
elny=e1Clnxx+C→y=xx+C1C
Ответ:y=xx+C1C

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу