Логотип Автор24реферат
Заказать работу
%
уникальность
не проверялась
Решение задач на тему:

Найти общее решение дифференциального уравнения

уникальность
не проверялась
Аа
1171 символов
Категория
Высшая математика
Решение задач
Найти общее решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения, пользуясь его однородностью yxy''+y'=xy'21-x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть
Пользуясь тем, что оно однородное, сделаем замену и понизим степень дифференциального уравнения:
y'=y*z
y''=y'z+yz'=yz2+yz'
Упростим данное уравнение
xy''+y'=x1-xy*y'2
y''+1xy'=1-xyy'2
Подставим y' и y''
yz2+yz'+yzx=1-xyy2z2
yz2+yz'+yzx=y1-xz2|*1y
z2+z'+zx-z21-x=0
z'+zx+z21-1+x=0
z'+zx+xz2=0
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, вида Бернулли . Разделим на z2 и произведем замену
z'z2+1x*1z+x=0
t=1z→t'=-z'z2
-t'+1xt+x=0
t'-1xt-x=0
получили линейное неоднородное уравнение первого порядка, произведем замену:
t=uv→t'=u'v+uv'
u'v+uv'-1xuv-x=0
u'v+uv'-1xv=x
v'-1xv=0u'v=x
1
v'=1xv
dvdx=1xv→dvv=dxx→lnv=lnx→v=x
2
u'*v=x
u'*x=x
u'=1→u=x+C
t=uv=xx+C
t=1z→z=1t=1xx+C
y'=y*z→y'=y*1xx+C
Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
y'y=1xx+C
dyy=dxxx+C
dyy=dxxx+C
lny=dxxx+C
1xx+C=разложим на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов=
=Ax+Bx+C,C=const=Ax+C+Bxx(x+C)=Ax+AC+Bxx(x+C)=xA+B+A*Cx(x+C)
A+B=0A*C=1→A=1CB=-1C
1x(x+C)=1Cx-1C(x+C)
dxxx+C=1Cdxx-1Cdx+Cx+C=1Clnx-1Clnx+C=1Clnxx+C
→lny=1Clnxx+C
elny=e1Clnxx+C→y=xx+C1C
Ответ:y=xx+C1C
50% задачи недоступно для прочтения
Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение
Получить задачу
Больше решений задач по высшей математике:

Решите задачу линейного программирования геометрическим методом

2489 символов
Высшая математика
Решение задач

Найти общее решение дифференциального уравнения

693 символов
Высшая математика
Решение задач
Все Решенные задачи по высшей математике
Закажи решение задач
Оставляя свои контактные данные и нажимая «Узнать стоимость», я соглашаюсь пройти процедуру регистрации на Платформе, принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности в целях заключения соглашения.

Наш проект является банком работ по всем школьным и студенческим предметам. Если вы не хотите тратить время на написание работ по ненужным предметам или ищете шаблон для своей работы — он есть у нас.