Найти общее решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения: y''+4y'+4y=x2e2x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2+4k+4=0
D=16-4*1*4=16-16=0
k1,2=-4±02=-2
Так как получены одинаковые действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
yо=C1e-2x+C2xe-2x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Ax2+Bx+Ce2x
Найдём первую и вторую производную от данного выражения:
y'=Ax2e2x+Bxe2x+Ce2x'=2Axe2x+2Ax2e2x+Be2x+2Bxe2x+2Ce2x
y''=2Ae2x+4Axe2x+4Axe2x+4Ax2e2x+2Be2x+2Be2x+4Bxe2x+4Ce2x=2Ae2x+8Axe2x+4Ax2e2x+4Be2x+4Bxe2x+4Ce2x
Подставляем в уравнение:
2Ae2x+8Axe2x+4Ax2e2x+4Be2x+4Bxe2x+4Ce2x+8Axe2x+8Ax2e2x+xrвляем в уравнение:оизводную от данного выражения:ешение однородного уравнения выглядит так:го уравнения выглядит так:г4Be2x+8Bxe2x+8Ce2x+4Ax2e2x+4Bxe2x+4Ce2x=x2e2x
Приведём подобные слагаемые в левой части:
16Ax2e2x+16Axe2x+16Bxe2x+2Ae2x+8Be2x+16Ce2x=x2e2x
Получаем систему уравнений:
16A=116A+16B=02A+8B+16C=0
Решив данную систему, получим, что:
A=116;B=-116;C=3128
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=x2e2x16-xe2x16+3e2x128
Тогда общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=yо+y=C1e-2x+C2xe-2x+x2e2x16-xe2x16+3e2x128

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу