Найти общее решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения: y''+8y'+20y=ex318cosx-82sinx

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим и решим характеристическое уравнение:
k2+8k+20=0
D=64-4*1*20=64-80=-16
k1=-8-4i2=-4-2i
k2=-8+4i2=-4+2i
Так как получились сопряженные комплексные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e-4xsin2x+C2e-4xcos2x
Найденные корни уравнения не совпали с показателями в правой части, поэтому частное решение ищем в виде:
y=ex(Acosx+Bsinx)
Найдём первую и вторую производную от данного выражения:
y'=Aexcosx+Bexsinx'=Aexcosx-Aexsinx+Bexsinx+Bexcosx
y''=Aexcosx-Aexsinx+Bexsinx+Bexcosx'=Aexcosx-Aexsinx-Aexsinx-Aexcosx+Bexsin x+Bexcosx+Bexcosx-Bexsinx=-2Aexsinx+2Bexcosx
Подставляем в уравнение данные выражения:
-2Aexsinx+2Bexcosx+8Aexcosx-8Aexsinx+8Bexsinx+8Bexcosx+20Aexcosx+20Bexsinx=ex318cosx-82sinx
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-10Aexsinx+10Bexcosx+28Aexcosx+28Bexsinx=ex318cosx-82sinx
Получаем систему уравнений:
-10A+28B=-8228A+10B=318
Решив данную систему, получим, что:
A=11,B=1
Тогда искомое частное решение выглядит так:
y=exAcosx+Bsinx=ex*11cosx+sinx=11excosx+exsinx
Тогда общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e-4xsin2x+C2e-4xcos2x+11excosx+exsinx

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу