Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Преобразуем уравнение:
xx-1dydx=y2-y
Разделим переменные:
dyy2-y=dxx(x-1)
Интегрируем обе части уравнения:
dyy2-y=dxx(x-1)
Решаем первый интеграл:
dyy2-y=dyy(y-1)
Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей:
1y(y-1)=Ay+By-1=Ay-A+Byy(y-1)
Приравниваем числители:
1=Ay-A+By
1=-A+yA+B
Составим систему уравнений и найдем коэффициенты:
при yпри 1A+B=0-A=1→B=-A=1A=-1
Получили интеграл:
dyyy-1=-1y+1y-1dy =-dyy+dyy-1=
=Во втором интегралевнесем под знак дифференциалаdy=dy-1=
=-dyy+dy-1y-1=Получены табличные интегралыduu=lnu+C=
=-lny+lny-1+C
Решив второй интеграл:
dxx(x-1)
Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей:
1x(x-1)=Ax+Bx-1=Ax-A+Bxx(x-1)
Приравниваем числители:
1=Ax-A+Bx
1=-A+xA+B
Составим систему уравнений и найдем коэффициенты:
при xпри 1A+B=0-A=1→B=-A=1A=-1
Получили интеграл:
dxx(x-1)=-1x+1x-1dx =-dxx+dxx-1=
=Во втором интегралевнесем под знак дифференциалаdx=dx-1=
=-dxx+dx-1x-1=Получены табличные интегралыduu=lnu+C=
=-lnx+lnx-1+C
В итоге общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:
-lny+lny-1=-lnx+lnx-1+C
Положим, что C=lnC
-lny+lny-1=-lnx+lnx-1+lnC
Используем свойства логарифма
lna-lnb=lnab,lna+lnb=lnab
Имеем:
lny-1y=lnCx-1x
Опустим знак логарифма:
y-1y=Cx-1x
y-1x=Cx-1y
yx-x=Cx-1y
Cx-1y+x-yx=0
yCx-1-x=-x
y=-xCx-1-x
Получили общее решение дифференциального уравнения.