Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение (решение задачи Коши)

Перед нами линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его, сделав следующую замену:
y=uv
Тогда первая производная:
y'=u'v+uv'
Подставляем данные замены в исходное уравнение:
u'v+uv'-2x-5x2uv=5
u'v+uv'-2x-5x2v=5
Получаем систему уравнений:
v'-2x-5x2v=0u'v=5
Решаем первое уравнение системы:
v'-2x-5x2v=0
v'=2x-5x2v
dvv=2x-5x2dx
dvv=2dxx-5x-2 dx
lnv=2lnx+5x
Если выразим v, получим:
v=x2e5x
Подставляем полученное решение во второе уравнение системы и решим его:
u'x2e5x=5
du=5dxx2e5x
u=e-5x+C
Тогда сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=x2e5x*e-5x+C=Cx2e5x+x2-общее решение
Теперь, применяя начальное условие, найдём решение задачи Коши:
y2=4Ce2,5+4=4
4Ce2,5=4-4=0
C=0
Тогда искомое частное решение (решение задачи Коши) выглядит так:
y=x2