Найти общее решение данного линейного неоднородного уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение данного линейного неоднородного уравнения

Найти общее решение данного линейного неоднородного уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение данного линейного неоднородного уравнения, убедившись, что данная функция является решением соответствующего однородного уравнения. 12∙x2∙y''+5∙x∙y'+y=3x+4xy1x=4x

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

y=C1∙3x+C2∙4x+3x∙lnx-4x∙lnx

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
12∙x2∙y''+5∙x∙y'+y=0
Решение будем искать в виде y=xk
Тогда
y'=k∙xk-1y''=k∙k-1∙xk-2
Подставляем в однородное уравнение
12∙x2∙k∙k-1∙xk-2+5∙x∙k∙xk-1+xk=0
12∙k∙k-1∙xk+5∙k∙xk+xk=0
Сокращаем на xk и получаем характеристическое уравнение
12∙k∙k-1+5∙k∙+1=0
Выполняем преобразования
12∙k2-12∙k+5∙k+1=0, 12∙k2-7∙k+1=0, 3∙k-1∙4∙k-1=0
Получаем два действительных корня k1=13, k2=14 . Им соответствуют два линейно независимых решения y1=x13, y2=x14.
Заметим, что y2=y1x является решением однородного уравнения.
Получили общее решение однородного уравнения
y=C1∙y1+C2∙y2
Теперь необходимо найти решение неоднородного уравнения. С учетом замены x=et t=lnx и характеристического уравнения, исходное уравнение запишется в виде
12∙z''-7∙z'+z=e13∙t+e14∙t
z1=A∙e13∙t∙t
z1'=13∙A∙e13∙t∙t+A∙e13∙t
z1''=19∙A∙e13∙t∙t+13∙A∙e13∙t+13∙A∙e13∙t=19∙A∙e13∙t∙t+23∙A∙e13∙t
12∙19∙A∙e13∙t∙t+23∙A∙e13∙t-7∙13∙A∙e13∙t∙t+A∙e13∙t+A∙e13∙t∙t=43∙A∙e13∙t∙t+8∙A∙e13∙t-73∙A∙e13∙t∙t-7∙A∙e13∙t+A∙e13∙t∙t=43∙A∙e13∙t∙t-73∙A∙e13∙t∙t+33∙A∙e13∙t∙t+8∙A∙e13∙t-7∙A∙e13∙t=A∙e13∙t=e13∙t⟹A=1
Тогда z1=e13∙t∙t и с учетом обратной замены z1=3x∙lnx
z2=A∙e14∙t∙t
z2'=14∙A∙e14∙t∙t+A∙e14∙t
z2''=116∙A∙e14∙t∙t+14∙A∙e14∙t+14∙A∙e14∙t=116∙A∙e14∙t∙t+12∙A∙e14∙t
12∙116∙A∙e14∙t∙t+12∙A∙e14∙t-7∙14∙A∙e14∙t∙t+A∙e14∙t+A∙e14∙t∙t=34∙A∙e14∙t∙t+6∙A∙e14∙t-74∙A∙e14∙t∙t-7∙A∙e14∙t+A∙e14∙t∙t=34∙A∙e14∙t∙t-74∙A∙e14∙t∙t+44∙A∙e14∙t∙t+6∙A∙e14∙t-7∙A∙e14∙t=-A∙e14∙t=e14∙t⟹A=-1
Следовательно z2=-e14∙t∙t и с учетом обратной замены z2=-4x∙lnx
В результате получили общее решение неоднородного уравнения:
y=C1∙y1+C2∙y2+z1+z2
После всех подстановок имеем
y=C1∙3x+C2∙4x+3x∙lnx-4x∙lnx
Ответ: y=C1∙3x+C2∙4x+3x∙lnx-4x∙lnx

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу