Найти общее и частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее и частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Найти общее и частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее и частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. y''-5y'+6y=2cosx, y0=3, y'0=12

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения у данного уравнения:
y=yодн+y
Для нахождения решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение:
k2-5k+6=0
D=25-24=1 k1=5-12=2 k2=5+12=3
Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому:
yодн=C1e2x+C2e3x
Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=±i, не являющимся корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде:
y=Acosx+Bsinx
Найдем первую и вторую производные частного решения:
y'=-Asinx+Bcosx y''=-Acosx-Bsinx
Подставим данные значения в исходное уравнение:
-Acosx-Bsinx-5(-Asinx+Bcosx)+6(Acosx+Bsinx)=2cosx
cosx-A-5B+6A+sinx-B+5A+6B=2cosx
5A-5B=25A+5B=0
Сложим оба уравнения:
5A-5B=210A=2 A=15B=-15
y=15cosx-15sinx
Общее решение уравнения:
y=C1e2x+C2e3x+15cosx-15sinx
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=3 => C1+C2+15=3
y'=2C1e2x+3C2e3x-15sinx-15cosx
y'0=12 => 2C1+3C2-15=12
C1+C2=1452C1+3C2=710
Умножим первое уравнение на 2 и вычтем второе:
C1+C2=145-C2=4910 C1=7710C2=-4910
Частное решение:
y=7710e2x-4910e3x+15cosx-15sinx

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу