Найти область сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости степенного ряда: n=2∞xn(2n-1)∙2n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Для нахождения области сходимости функционального ряда используем признак Даламбера:
un=xn(2n-1)∙2n; un+1=xn+1(2n+1)∙2n+1=x∙xn(2n+1)∙2∙2n
limn→∞un+1un=limn→∞x∙xn(2n+1)∙2∙2n∙(2n-1)∙2nxn=x2∙limn→∞2n-12n+1=
=x2∙limn→∞2n+1-22n+1=x2∙limn→∞1-22n+1=x2
Ряд сходится абсолютно для всех значений x, таких, что:
x2<1 => -2<x<2
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала сходимости:
x=-2 =>
n=2∞xn2n-1∙2n=n=2∞-2n2n-1∙2n=n=2∞-1n2n-1
Применим признак Лейбница:
limn→∞an=limn→∞12n-1=0
При этом, убывание абсолютных значений членов ряда к нулю монотонно, так как каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего как число, знаменатель которого больше
Значит, по признаку Лейбница ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд, оставленный из модулей данного ряда
n=2∞12n-1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
limn→∞1n12n-1=limn→∞2n-1n=limn→∞2-1n=2
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому ряд, составленный из модулей исходного ряда, расходится, а исходный ряд сходится условно
x=2 =>
n=2∞xn2n-1∙2n=n=2∞2n2n-1∙2n=n=2∞12n-1
Данный ряд расходится по доказанному ранее

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу