Найти объем тела образованного вращением вокруг оси 𝑂𝑦 фигуры

Найдем точки пересечения функций, решив систему
y=x28x=y2
y=y282x=y28
Решаем уравнение:
y=y464
y4-64y=0
y(y3-64)=0
y=0 и y3-64=0
y=0 и y=4
Тогда:
x1=028=0
x2=428=2
Начертим заданную область:
По рисунку видим, что участвует левая ветвь параболы y=x2 и верхняя ветвь параболы 8x=y2 . То есть x=y и x=y28.
Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси Оу, находится по формуле:
V=πy1y2f2(y)dy
Объем данной фигуры равен разности объемов фигур вращения вокруг оси Оу двух функций:
V=V1-V2
Получаем:
V1=π04y2dy=π04ydy=πy2204=π242-02=8πкуб.ед.
V2=π04y282dy=π6404y4dy=πy532004=π32045-05=1024π320=128π40=16π5куб.ед.
В итоге:
V=8π-16π5=24π5 куб.ед.