Найти область сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимости заданного степенного ряда:
R=limn→∞ anan+1=Здесь an=4n3n+1,an+1=4n+13n+1+1=4n43n+2=
=limn→∞4n3n+14n43n+2=limn→∞4n3n+24n43n+1=14limn→∞3n+2n+1=∞∞=14limn→∞3nn+2nnn+1n=
=14limn→∞31+2n→01+1n→0=1431+01+01=14
Таким образом, интервал сходимости заданного степенного ряда имеет вид
-14,14
Исследуем сходимость ряда на границах интервала сходимости.
При x=-14 имеем ряд
n=1∞4n-14n3n+1=n=1∞4n-1n14n3n+1=n=1∞-1n3n+1
Это знакочередующийся ряд . Исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница.
Так как
1. Последовательность абсолютных величин членов ряда
132,133,134…
монотонно убывает:
132>133>134…
2.
limn→∞13n+1=0,
то по признаку Лейбница ряд n=1∞-1n3n+1 сходится.
При x=14 имеем ряд
n=1∞4n14n3n+1=n=1∞13n+1
Это знакоположительный числовой ряд