Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=3x2+3y2-2x-2y+2 в области D

Построим область
-3810444500Находим стационарные точки функции:
zx'=3x2+3y2-2x-2y+2 x'=6x-2
zy'=3x2+3y2-2x-2y+2 y'=6y-2
Приравняем их к нулю, получим систему:
6x-2=0,6y-2=0;=>x=13,y=13.
Итак, у нас есть одна стационарная точка: М13;13.
Значение функции в стационарной точке z13;13=83.
Переходим к исследованию функции на границах области, которая состоит из отрезка оси Ох, отрезка Оу и отрезка АВ прямой.
На оси Ox y=0 , а заданная функция принимает при y=0 такой вид: z=3x2-2x+2, 0≤x≤1
Определим прежде всего точку стационарности
z'=3x2-2x+2'=6x-2;z'=0=>6x-2=0=>x=13
Определим значение функции при x=13 и на концах отрезка 0;1
z13;0=53, z0;0=2,z1;0=3.
На оси Oy x=0 функция принимает вид z=3y2-2y+2, 0≤y≤1
z'=3y2-2y+2'=6y-2;z'=0=>6y-2=0=>y=13
Определим значение функции при у=13 и на концах рассматриваемого отрезка
z0;13=53, z0;0=2, z0;1=3
На прямой АВ y=1-x функция принимает вид z=6x2-6x+3,
0≤x≤1
z'=6x2-6x+3'=12x-6=>12x-6=0=>x=12.
z12;12=6∙14-3+3=32.
Среди найденных значений
z13;13=83;z13;0=53, z0;0=2,z1;0=3;z0;13=53, z0;1=3.
z12;12=32.
выбираем наибольшее и наименышее:
zнаиб=z0;1=z1;0=3, zнаим=z0;0=2.
Ответ:zнаиб=z0;1=z1;0=3, zнаим=z0;0=2.