Найти интервал сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда

Найти интервал сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведения ряда на концах интервала сходимости. n=1∞x+1nn4n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдём интервал сходимости данного ряда:
un=x+1nn4n
un+1=x+1n+1n+14n+1=x+1n(x+1)n+1*4n*4
limn→∞un+1un=limn→∞x+1n(x+1)n+1*4n*4*n4nx+1n=limn→∞n(x+1)4(n+1)=x+14limn→∞nn+1=x+14<1
Решим полученное неравенство:
x+14<1
x+1<4
-4<x+1<4
-5<x<3
Значит, искомый интервал сходимости данного ряда выглядит так:
x∈(-5;3)
Теперь исследуем сходимость ряда на концах интервала:
1) Пусть x=-5, тогда получаем ряд:
n=1∞-5+1nn4n=n=1∞-4nn4n=n=1∞-1n*4nn4n=n=1∞-1nn
Данный ряд является знакочередующимся, исследуем его сходимость с помощью признака Лейбница:
-Члены ряда должны убывать по модулю:
1>12>13…
-Предел общего члена ряда должен быть равен нулю:
limn→∞un=limn→∞1n=0
Оба условия выполняются, поэтому в данной точке ряд сходится.
2) Пусть x=3, тогда получаем ряд:
n=1∞3+1nn4n=n=1∞4nn4n=n=1∞1n
Данный ряд является гармоническим расходящимся рядом

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу