Найти частное решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти частное решение дифференциального уравнения

Найти частное решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y''+2y'-8y=2-4xe-4x, y0=1, y'0=0

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого запишем характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2+2k-8=0
D=4-4*1*-8=4+32=36
k1=-2-62=-82=-4
k2=-2+62=42=2
Так как получены различные действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e-4x+C2e2x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=x*Ax+Be-4x=Ax2+Bxe-4x=Ax2e-4x+Bxe-4x
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=2Axe-4x-4Ax2e-4x+Be-4x-4Bxe-4x
y''=2Ae-4x-8Axe-4x-8Axe-4x+16Ax2e-4x-4Be-4x-4Be-4x+16Bxe-4x=2Ae-4x-16Axe-4x+16Ax2e-4x-8Be-4x+16Bxe-4x
Подставляем в исходное уравнение:
2Ae-4x-16Axe-4x+16Ax2e-4x-8Be-4x+16Bxe-4x+4Axe-4x-8Ax2e-4x+2Be-4x-8Bxe-4x-8Ax2e-4x-8Bxe-4x=2-4xe-4x
2Ae-4x-12Axe-4x-6Be-4x=2-4xe-4x
Приравнивая коэффициенты между соответствующими выражениями, получаем систему уравнений:
-12A=-42A-6B=2→A=412=13B=-29
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=13x2e-4x-29xe-4x
Тогда общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e-4x+C2e2x+13x2e-4x-29xe-4x
Теперь найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу