Найти частное решение дифференциального уравнения

Построим общее решение y0 соответствующего однородного уравнения y''+5y'+6y=0 . Составим для него характеристическое уравнение
k2+5k+6=0 и найдем его корни: k1=-3,k2=-2.
Поэтому частные решения надо записать в виде
y1=e-3x, y2=e-2x.
Cледовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:y0=y1+y2=C1e-3x+C2e-2x.
Построим частное решение yч.н. данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов . В заданном уравнении
fx=52sinx –частное решение yч.н. будем искать в виде:
yч.н.=Asinx+Bcosx
где А, В – неизвестные постоянные.
Производные равны:
y'ч.н.=Acosx-Bsinx;
y''ч.н.=-Asinx-Bcosx
Подставим yч.н.,yч.н.',yч.н.'' в данное неоднородное уравнение:
651yч.н.=Asinx+Bcosxyч.н.'=Acosx-Bsinxyч.н.''=-Asinx-Bcosx
------------------------------------------------
-Asinx-Bcosx+5Acosx-Bsinx+6Asinx+Bcosx=52sinx
5A+5Bcosx+-5A+5Bsinx=52sinx
Приравняем коэффициенты при cosx и при sinx в левой и правой частях тождества.
5A+5B=0-5A+5B=52=>A=265, B=-265
Подставив найденные значения А , В в выражение yч.н., получим частное решение неоднородного уравнения:
yч.н.=265sinx-265cosx.
Объединяя результаты 2-х этапов, запишем общее решение данного уравнения.
y=y0+yч.н.=C1e-3x+C2e-2x+265sinx-265cosx.
Найдём частное решение при начальных условиях:
y'=-3C1e-3x-2C2e-2x+265cosx+265sinx
Подставим начальные условия: y0=-2, y'0=-2
-2=C1+C2-265-2=-3C1-2C2+265=>C1=, C1=125
Частное решение при y0=-2, y'0=-2:.
y=45e-3x+125e-2x+265sinx-265cosx=
=252e-3x+6e-2x+13sinx-13cosx.
Ответ: y=252e-3x+6e-2x+13sinx-13cosx.