Найти частное решение дифференциального уравнения y''+3y'+2y=cos2x

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения y''+3y'+2y=cos2x. Для этого составим характеристическое уравнение λ2+3λ+2=0 и найдём его корни
λ1,2=-3±9-82⟹λ1=-2; λ2=-1
Общее решение однородного уравнения будет
yо.о.=C1e-2x+C2e-x
Частное решение, соответствующее правой части f(x)=cos2x будем искать в виде:
yчн.=Asin2x+Bcos2xxt
Характеристическое число функции fx=cos2x равно r1=a+bi=0+2i=2i- не является корнем характеристического уравнения, тогда t=0 и
yчн.=Asin2x+Bcos2x
Имеем:
y'чн.=Asin2x+Bcos2x'=2Acos2x-2Bsin2x
y''чн.=2Acos2x-Bsin2x'=-4Asin2x -4Bcos2x
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение:
-4Asin2x -4Bcos2x+32Acos2x-2Bsin2x+2Asin2x+Bcos2x=cos2x
-2A-6Bsin2x +-2B+6Acos2x=cos2x
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, находим:
-2A-6B=0-2B+6A=1⟹B=-0,05A=0,15⟹ yчн.=0,15sin2x-0,05cos2x
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть
yо.н.=yо.о.+yчн.=C1e-2x+C2e-x+0,15sin2x-0,05cos2x
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y0=-0,05, y'0=-0,7
y'x=-2C1e-2x-C2e-x+0,3cos2x+0,1sin2x
C1+C2-0,05=-0,05-2C1-C2+310=-0,7⟹C1=-C2C2=-1⟹C1=1C2=-1
Частное решение:
yx=e-2x-e-x-0,15sin2x-0,05cos2x.
Ответ: yx=e-2x-e-x+0,15sin2x-0,05cos2x.