Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
y''-2y'+y=0
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
k2-2k+1=0→k-12=0→k1=k2=1
Получили действительные кратные корни, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
yо=C1ek1xx+C2ek1x=C1exx+C2ex
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будет искать по виду правой части . Имеем общий вид правой части дифференциального уравнения:
fx=Aex
Обратим внимание, что коэффициент в показателе экспоненты совпал с кратным корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде:
yч=x2Aex
В данном виде и ищем частное решение. Найдем необходимые порядки производных:
yч'=x2Aex'=Ax2'ex+Ax2ex'=2Axex+Ax2ex
yч''=2Axex+Ax2ex'=2Ax'ex+2Axex'+Ax2'ex+Ax2ex'=
=2Aex+2Axex+2Axex+Ax2ex=2Aex+4Axex+Ax2ex
Подставим в дифференциальное уравнение:
2Aex+4Axex+Ax2ex-22Axex+Ax2ex+Ax2ex=2ex
2Aex+4Axex+Ax2ex-4Axex-2Ax2ex+Ax2ex=2ex
2Aex=2ex
Имеем:
A=1
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
yч=x2ex
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме
y=yо+yч=C1exx+C2ex+x2ex
Чтобы найти частное решение, найдем производную первого порядка от общего решения:
y'=C1exx+C2ex+x2ex'=C1ex+C1xex+C2ex+2xex+x2ex
Решим систему при начальных условиях:
y=C1exx+C2ex+x2exy'=C1ex+C1xex+C2ex+2xex+x2ex
5=C1e00+C2e0+02e05=C1e0+C1∙0e0+C2e0+2∙0e0+02e0
5=C25=C1+C2
C2=5C1=5-C2=5-5=0
Частное решение имеет вид:
y=5ex+x2ex