Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
y''+4y'=0
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
k2+4k=0→kk+4=0→k1=-4,k2=0
Получили действительные различные корни, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
yо=C1ek1x+C2ek2x=C1e-4x+C2e0x=C1e-4x+C2
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будет искать по виду правой части . Имеем общий вид правой части дифференциального уравнения:
fx=Acos2x+Bsin2x
В данном виде и ищем частное решение. Найдем необходимые порядки производных:
yч'=Acos2x+Bsin2x'=-Asin2x2x'+Bcos2x2x'=
=-2Asin2x+2Bcos2x
yч''=-2Asin2x+2Bcos2x'=-4Acos2x-4Bsin2x
Подставим в дифференциальное уравнение:
-4Acos2x-4Bsin2x+4-2Asin2x+2Bcos2x=4cos2x-12sin2x
-4Acos2x-4Bsin2x-8Asin2x+8Bcos2x=4cos2x-12sin2x
Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты:
приcos2xприsin2x-4A+8B=4-8A-4B=-12
-A+2B=12A+B=3
-A+2(3-2A)=1B=3-2A
-A+6-4A=1B=3-2A
-5A=-5B=3-2A
A=1B=3-2∙1=3-2=1
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
yч=cos2x+sin2x
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме
y=yо+yч=C1e-4x+C2+cos2x+sin2x
Чтобы найти частное решение, найдем производную первого порядка от общего решения:
y'=C1e-4x+C2+cos2x+sin2x'=
=-4C1e-4x+0-2sin2x+2cos2x
Решим систему при начальных условиях:
y=C1e-4x+C2+cos2x+sin2xy'=-4C1e-4x-2sin2x+2cos2x
1=C1e-4∙0+C2+cos(2∙0)+sin(2∙0)2=-4C1e-4∙0-2sin(2∙0)+2cos(2∙0)
1=C1+C2+1+02=-4C1-0+2
C1+C2=00=-4C1
C2=0C1=0
Частное решение имеет вид:
y=cos2x+sin2x