Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения

Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Так как в уравнение явно не входит функция y, то выполним замену переменной:
z=y' => z'=y''
y''-y'ctg x+cosxsin2x=0
z'-z∙ctg x+cosxsin2x=0
z'-z∙ctg x=-cosxsin2x
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение . Найдем решение линейного однородного уравнения:
z'-z∙ctg x=0
dzdx=z∙ctg x
dzz=ctg xdx
Интегрируем обе части уравнения:
dzz=lnz ctg xdx=lnsinx+lnC
lnz=lnsinx+lnC => z=Csinx
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
z=Cxsinx => z'=C'xsinx+Cxcosx
C'xsinx+Cxcosx-Cxsinx∙ctg x=-cosxsin2x
C'xsinx=-cosxsin2x
C'x=-cosxsin3x
Cx=-cosxsin3xdx=-d(sinx)sin3x=12sin2x+C1
z=Cxsinx=12sinx+C1sinx
Исходя из начальных условий, найдем константу C1:
yπ2=0; y'π2=12 => zπ2=12
12=12sinπ2+C1sinπ2 => C1=0
z=12sinx
z=y' => y=dx2sinx=12lntg x2+C2
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
yπ2=0 => 0=12lntg π4+C2 => C2=0
Частное решение:
y=12lntg x2